【发布时间】：2011-06-06 01:20:47
【问题描述】：
我们如何在 C 或 C++ 中计算 (N choose K)% M 而不调用溢出？
对于 N (4 和 K (1 和 M = 1000003 的特殊情况。
【问题讨论】：
标签： c++ c algorithm math modulo
【发布时间】：2011-06-06 01:20:47
【问题描述】：
要计算 (n 选择 k) % M，您可以分别计算分母 (n!) 模 M 和分母 (k!*(n - k)!) 模 M，然后将分母乘以分母的模乘法逆（以 M 为单位）。由于 M 是素数，您可以使用费马小定理计算乘法逆。
在以下链接（问题 SuperSum）上有一个很好的解释和示例代码：
【讨论】：
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为了获得额外的速度，将分子计算为 (K+1) 到 N 的乘积，将分母计算为 K!。我们知道在计算中不会有 M 的任何因数，因为它是素数并且大于 N。因此我们可以取消顶部和底部，而不必担心我们要取消的可能是 M 的倍数（即 0）。
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但现在我看到 1,000,000,003 不是素数，知道现在如何解决这个问题吗？
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@Tretwick Marian：除非它因某种原因被禁止，否则只要拿出一个 bignum 库 (GMP) 并做显而易见的事情。 1000！/500！具有少于 5k 的二进制数字，这可能不会太大，无法进行大约 1000 次算术运算。如果你需要优化，你最坏的情况是 1000 选择 500，它只有 1k 个二进制数字。所以要聪明地计算它，尽快做除法而不是先做所有的乘法，而且数字永远不会比这大得多。
由于 1000000003 = 23 * 307 * 141623，您可以计算 (n 选择 k) mod 23、307 和 141623，然后应用中国提醒定理 [1]。计算 n! 时，k!和 (n-k)!，你应该计算每一步的一切 mod 23、307 和 141623 以防止溢出。
通过这种方式，即使在 32 位机器中也应该避免溢出。
一点改进是计算 (n 选择 k) mod 141623 和 7061 (23 * 307)（编辑：但计算反模数 7061 可能有点棘手，所以我不会这样做）
对不起，我的英语不好。
[1]http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem
Edit2：我发现的另一个潜在问题是在计算 n 时！ mod 23（例如）它可能是 0，但这并不意味着（n 选择 k）是 0 mod 23，所以你应该计算 23 除以 n 的次数！，（n-k）！和k！在计算之前（n 选择 k）。计算这很容易，p 除以 n！正好是 floor(n/p) + floor(n/p²) + ... 次。如果发生 23 除以 n！它除 k 的时间相同！和 (n-k)!，您继续计算 (n 选择 k) mod 23 除以 23 的每个倍数。这同样适用于 307，但不适用于 141623
【讨论】：
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对于小素数 23 和 307，您可以使用 en.wikipedia.org/wiki/Lucas%27_theorem 而不是计算幂。
您可以使用您提供的链接中的递归公式并进行计算 mod M。
【讨论】：
这是一个简单的例子：
(A * B * C) % N ... is equal to... ((A % N) * (B % N) * (C % N)) % N;
也就是说，您只需要对每个操作数和乘积应用模数，或者只要它变成一个大数。最后，模数必须适用于整体结果。
【讨论】：
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使用 32 位 int 仍然可能导致 1000000000*1000 溢出。
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@ybungalobill : 申请
((1000000000%N)*(1000)%N)%N. -
请注意，问题中的模数是 M，而不是 N，给出的示例虽然实际上不是素数，但大约是十亿。所以
1000000000%N仍然是1000000000。为避免溢出，您需要一个与 N^2 一样大的整数类型（例如long long或int64_t，如果可用）
使用Stirling's approximation 计算二项式系数。然后像往常一样计算模数。
【讨论】：
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近似值如何帮助计算模 M 的二项式系数？近似值在模算术中几乎没有意义。
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对不起，我错过了近似部分。