中位数选择算法 - 它是否找到绝对中位数，或接近绝对中位数的“中位数中位数”？答案

【问题标题】：Median select algorithm - does it find the absolute median, or a "median of medians" close to the absolute median?中位数选择算法 - 它是否找到绝对中位数，或接近绝对中位数的“中位数中位数”？
【发布时间】：2012-02-18 17:30:56
【问题描述】：

CLRS 第 3 版“最坏情况线性时间的选择”中的第 9.3 节讨论了“选择”算法（由于 Blum、Floyd、Pratt、Rivest 和 Tarjan，有时称为 BFPRT 算法）用于查找在最坏的情况下在 O(n) 时间内列出。当我试图在白板上运行示例时，我有点困惑。我知道每次调用“Select”时可以消除一定数量的元素（我读过 30% 被消除，而 70% 需要再次检查），我感到困惑的是数组的哪一部分可以是消除，即如果将数组可视化为高度为 5 和宽度为 n/5 的矩阵，那么消除的元素位于哪个象限？我最初认为它是两个对角相邻的象限，但现在我认为它只是一个象限，具体取决于中位数的中位数是多少（参见步骤 5、6 和 7 here）。

所以我去维基百科看看是否有一个比 CLRS 分析更少的快速解释（为了在我跳回 CLRS 进行分析之前理解算法）。我来到this，特别是“最后，选择“中位数的中位数”作为支点。”从维基百科中的描述来看，“选择”没有找到真正的中位数，而是一个足够中位数的元素，用于选择快速排序的枢轴。

那么“选择”在真正的中位数方面做了什么，它是如何做到的？通过所有这一切想到的短语是“部分层次结构”，据我所知，这就是“选择”起作用的原因，但是通过什么逻辑，您可以根据这个部分层次结构将列表中的元素从中间值中消除？

【问题讨论】：

BFPRT 基本上是快速选择，改进了枢轴选择。使用快速选择，您选择了一个枢轴不知何故，分区，然后在上半部分或下半部分递归调用。 BFPRT 通过在每个递归步骤使用中位数的中值作为枢轴来修改它。

标签： algorithm selection median clrs

【解决方案1】：

它找到绝对中位数。

正如你所说，“选择”没有找到真正的中位数，而是一个足够中位数的元素，以便为快速排序选择一个枢轴。 特别是它足够中位数，它是保证在每次迭代中至少丢弃 30% 的数据集。不幸的是，这也是一项昂贵的操作。

关键思想是中位数的中位数小于或等于每 5 个中位数小于或等于它的元素中的 3 个。因此，对于 5 个组的一半，它小于或等于每 5 个元素中的 3 个，因此至少有 30% 的集合小于或等于它。所以它在数据集中最大的 70%。

同样是数据集中最小的 70%。

这可以保证您避免快速选择的潜在陷阱，即选择具有极值的枢轴点。

如果您希望将效率和最坏情况结合起来，您可以将其与快速选择结合使用。例如，4 轮快速选择，然后是一轮，然后是 4 轮快速选择，等等。昂贵的 BFPRT 轮保证O(n)，而快速选择平均会很快。通过推迟你的第一轮 BFPRT 直到你完成了几轮快速选择，你可以使额外的运行时间平均只比快速选择多几个百分点。（最坏情况下的成本会上升很多，但我们预计不会遇到这种情况。）

【讨论】：