如何检查有向图是否是无环的？算法是如何命名的？我将不胜感激。
【问题讨论】：
标签： algorithm theory directed-graph directed-acyclic-graphs
ShuggyCoUk 给出的解决方案是不完整的，因为它可能不会检查所有节点。
def isDAG(nodes V):
while there is an unvisited node v in V:
bool cycleFound = dfs(v)
if cyclefound:
return false
return true
这具有 O(n+m) 或 O(n^2) 的时间复杂度
【讨论】：
m = O(n^2) 因为完整的图正好有m=n^2 边。这就是O(n+m) = O(n + n^2) = O(n^2)。
进行简单的深度优先搜索不够找到循环。在一个 DFS 中可以多次访问一个节点而不存在循环。根据您从哪里开始，您也可能不会访问整个图表。
您可以按如下方式检查图的连通分量中的循环。找到一个只有出边的节点。如果没有这样的节点，那么就有一个循环。在该节点上启动 DFS。遍历每条边时，检查边是否指向堆栈中已经存在的节点。这表明存在一个循环。如果您没有找到这样的边，则该连接组件中没有循环。
正如 Rutger Prins 指出的，如果你的图没有连接，你需要对每个连接的组件重复搜索。
作为参考，Tarjan's strongly connected component algorithm 密切相关。它还将帮助您找到周期，而不仅仅是报告它们是否存在。
【讨论】：
我会尝试sort the graph topologically，如果你不能，那么它有循环。
【讨论】：
Introduction to Algorithms（第二版）一书上的引理 22.11 指出：
有向图 G 是非循环的当且仅当 G 的深度优先搜索没有产生后边
【讨论】：
我知道这是一个老话题，但对于未来的搜索者来说，这里是我创建的 C# 实现（没有声称它是最有效的！）。这旨在使用一个简单的整数来标识每个节点。您可以根据自己的喜好进行装饰，只要您的节点对象正确地散列和等于。
对于非常深的图，这可能会有很高的开销，因为它会在每个深度节点处创建一个哈希集（它们在广度上被破坏）。
您输入要从中搜索的节点以及到达该节点的路径。
当检查任何给定节点下的循环时，只需将该节点与一个空哈希集一起传递
private bool FindCycle(int node, HashSet<int> path)
{
if (path.Contains(node))
return true;
var extendedPath = new HashSet<int>(path) {node};
foreach (var child in GetChildren(node))
{
if (FindCycle(child, extendedPath))
return true;
}
return false;
}
【讨论】：
这是我对 peel off leaf node algorithm 的 ruby 实现。
def detect_cycles(initial_graph, number_of_iterations=-1)
# If we keep peeling off leaf nodes, one of two things will happen
# A) We will eventually peel off all nodes: The graph is acyclic.
# B) We will get to a point where there is no leaf, yet the graph is not empty: The graph is cyclic.
graph = initial_graph
iteration = 0
loop do
iteration += 1
if number_of_iterations > 0 && iteration > number_of_iterations
raise "prevented infinite loop"
end
if graph.nodes.empty?
#puts "the graph is without cycles"
return false
end
leaf_nodes = graph.nodes.select { |node| node.leaving_edges.empty? }
if leaf_nodes.empty?
#puts "the graph contain cycles"
return true
end
nodes2 = graph.nodes.reject { |node| leaf_nodes.member?(node) }
edges2 = graph.edges.reject { |edge| leaf_nodes.member?(edge.destination) }
graph = Graph.new(nodes2, edges2)
end
raise "should not happen"
end
【讨论】：
Solution1：卡恩算法检查循环。主要思想：维护一个队列，将零度数的节点添加到队列中。然后一个一个地剥离节点，直到队列为空。检查是否存在任何节点的入边。
Solution2：Tarjan 算法检查强连通分量。
解决方案 3：DFS。使用整数数组标记节点的当前状态： 即 0 - 表示该节点之前没有被访问过。 -1 - 表示该节点已被访问，并且其子节点正在被访问。 1 - 表示该节点已被访问，并且已完成。 所以如果一个节点在做DFS的时候状态为-1，就说明一定存在一个循环。
【讨论】：
做DFS时不应该有任何后边。做DFS时要跟踪已经访问过的节点，如果在当前节点和现有节点之间遇到边，则图有循环。
【讨论】：
这里有一个快速代码来查找图表是否有循环：
func isCyclic(G : Dictionary<Int,Array<Int>>,root : Int , var visited : Array<Bool>,var breadCrumb : Array<Bool>)-> Bool
{
if(breadCrumb[root] == true)
{
return true;
}
if(visited[root] == true)
{
return false;
}
visited[root] = true;
breadCrumb[root] = true;
if(G[root] != nil)
{
for child : Int in G[root]!
{
if(isCyclic(G,root : child,visited : visited,breadCrumb : breadCrumb))
{
return true;
}
}
}
breadCrumb[root] = false;
return false;
}
let G = [0:[1,2,3],1:[4,5,6],2:[3,7,6],3:[5,7,8],5:[2]];
var visited = [false,false,false,false,false,false,false,false,false];
var breadCrumb = [false,false,false,false,false,false,false,false,false];
var isthereCycles = isCyclic(G,root : 0, visited : visited, breadCrumb : breadCrumb)
这个想法是这样的：一个普通的 dfs 算法，它有一个数组来跟踪访问的节点，还有一个额外的数组作为指向当前节点的节点的标记，这样当我们执行 dfs 时对于一个节点，我们将其在标记数组中的对应项设置为真，这样当遇到一个已经访问过的节点时，我们检查其在标记数组中的对应项是否为真，如果它为真，那么它就是让给自己的节点之一 （因此是一个循环），诀窍是每当一个节点的 dfs 返回时，我们将其相应的标记设置回 false ，这样如果我们从另一条路线再次访问它，我们就不会被愚弄。
【讨论】：
刚刚在 Google 面试中提出了这个问题。
你可以尝试拓扑排序，即O(V + E)，其中V是顶点数，E是边数。当且仅当可以做到这一点时，有向图才是无环的。
递归删除叶节点，直到没有剩余，如果剩下的节点不止一个，你就有了一个循环。除非我弄错了，否则这是 O(V^2 + VE)。
然而，一个有效的 DFS 式算法，最坏情况 O(V + E)，是：
function isAcyclic (root) {
const previous = new Set();
function DFS (node) {
previous.add(node);
let isAcyclic = true;
for (let child of children) {
if (previous.has(node) || DFS(child)) {
isAcyclic = false;
break;
}
}
previous.delete(node);
return isAcyclic;
}
return DFS(root);
}
【讨论】：
您可以在这里https://stackoverflow.com/a/60196714/1763149https://stackoverflow.com/a/60196714/1763149使用我的回答中的查找周期的反转
def is_acyclic(graph):
return not has_cycle(graph)
【讨论】：
这是我的伪代码实现：
bool Acyclacity_Test
InitColor() //Sets to WHITE every vertex
while there is a node v in V:
if (v.color == WHITE) then
tmp = Aux_Acy(v);
if ( not tmp ) return false
return true
END
bool Aux_Acy(u)
u.color = GREY
for each node v in Adj(u)
if(v.color == GREY) return false
else if(v.color == WHITE) tmp = Aux_Acy(v)
if(!tmp) return false;
u.color = BLACK
return true
END
【讨论】：