查找多个点之间的最短距离

Question

想象一个 xy 坐标的小数据集。这些点由一个名为 indexR 的变量分组，总共有 3 组。所有 xy 坐标都使用相同的单位。数据大致如下：

# A tibble: 61 x 3
   indexR     x     y
    <dbl> <dbl> <dbl>
 1      1   837   924
 2      1   464   661
 3      1   838   132
 4      1   245   882
 5      1  1161   604
 6      1  1185   504
 7      1   853   870
 8      1  1048   859
 9      1  1044   514
10      1   141   938
# ... with 51 more rows

目标是确定哪 3 个点（每组一个）彼此最接近，即最小化所选点之间的成对距离之和。

我通过考虑 欧几里得距离 尝试了这一点，如下所示。 （感谢@Mouad_S，在这个线程中，和https://gis.stackexchange.com/questions/233373/distance-between-coordinates-in-r）

#dput provided at bottom of this post
> df$dummy = 1
> df %>% 
+   full_join(df, c("dummy" = "dummy")) %>% 
+   full_join(df, c("dummy" = "dummy")) %>%
+   filter(indexR.x != indexR.y & indexR.x != indexR & indexR.y != indexR) %>% 
+   mutate(dist = 
+            ((.$x - .$x.x)^2 + (.$y- .$y.x)^2)^.5 +
+            ((.$x - .$x.y)^2 + (.$y- .$y.y)^2)^.5 +
+            ((.$x.x - .$x.y)^2 + (.$y.x- .$y.y)^2)^.5,
+          dist = round(dist, digits = 0)) %>%
+   arrange(dist) %>%
+   filter(dist == min(dist))
# A tibble: 6 x 11
  indexR.x   x.x   y.x dummy indexR.y   x.y   y.y indexR     x     y  dist
     <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>    <dbl> <dbl> <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1        1   638   324     1        2   592   250      3   442   513   664
2        1   638   324     1        3   442   513      2   592   250   664
3        2   592   250     1        1   638   324      3   442   513   664
4        2   592   250     1        3   442   513      1   638   324   664
5        3   442   513     1        1   638   324      2   592   250   664
6        3   442   513     1        2   592   250      1   638   324   664

据此，我们可以确定距离最近的三个点（最小距离；在下图中放大）。但是，当扩展它以使 indexR 具有 4,5 ... n 个组时，挑战就来了。问题在于找到一种更实用或更优化的方法来进行此计算。

structure(list(indexR = c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 
2, 2, 2, 2, 2, 3, 3), x = c(836.65, 464.43, 838.12, 244.68, 1160.86, 
1184.52, 853.4, 1047.96, 1044.2, 141.06, 561.01, 1110.74, 123.4, 
1087.24, 827.83, 100.86, 140.07, 306.5, 267.83, 1118.61, 155.04, 
299.52, 543.5, 782.25, 737.1, 1132.14, 659.48, 871.78, 1035.33, 
867.81, 192.94, 1167.8, 1099.59, 1097.3, 1089.78, 1166.59, 703.33, 
671.64, 346.49, 440.89, 126.38, 638.24, 972.32, 1066.8, 775.68, 
591.86, 818.75, 953.63, 1104.98, 1050.47, 722.43, 1022.17, 986.38, 
1133.01, 914.27, 725.15, 1151.52, 786.08, 1024.83, 246.52, 441.53
), y = c(923.68, 660.97, 131.61, 882.23, 604.09, 504.05, 870.35, 
858.51, 513.5, 937.7, 838.47, 482.69, 473.48, 171.78, 774.99, 
792.46, 251.26, 757.95, 317.71, 401.93, 326.32, 725.89, 98.43, 
414.01, 510.16, 973.61, 445.33, 504.54, 669.87, 598.75, 225.27, 
789.45, 135.31, 935.51, 270.38, 241.19, 595.05, 401.25, 160.98, 
778.86, 192.17, 323.76, 361.08, 444.92, 354, 249.57, 301.64, 
375.75, 440.03, 428.79, 276.5, 408.84, 381.14, 459.14, 370.26, 
304.05, 439.14, 339.91, 435.85, 759.42, 513.37)), class = c("tbl_df", 
"tbl", "data.frame"), row.names = c(NA, -61L), .Names = c("indexR", 
"x", "y"))

Answer 1

一种可能性是将识别最接近元素的问题（每个组中的一个）表示为混合整数程序。我们可以为是否选择每个点 i 定义决策变量 y_i，以及为是否选择点 i 和 j 定义 x_{ij} (x_{ij} = y_iy_j)。我们需要从每个组中选择一个元素。

实际上，您可以使用 lpSolve 包（或其他 R 优化包之一）来实现这个混合整数程序。

opt.closest <- function(df) {
  # Compute every pair of indices
  library(dplyr)
  pairs <- as.data.frame(t(combn(nrow(df), 2))) %>%
    mutate(G1=df$indexR[V1], G2=df$indexR[V2]) %>%
    filter(G1 != G2) %>%
    mutate(dist = sqrt((df$x[V1]-df$x[V2])^2+(df$y[V1]-df$y[V2])^2))

  # Compute a few convenience values
  n <- nrow(df)
  nP <- nrow(pairs)
  groups <- sort(unique(df$indexR))
  nG <- length(groups)
  gpairs <- combn(groups, 2)
  nGP <- ncol(gpairs)

  # Solve the optimization problem
  obj <- c(pairs$dist, rep(0, n))
  constr <- rbind(cbind(diag(nP), -outer(pairs$V1, seq_len(n), "==")),
                  cbind(diag(nP), -outer(pairs$V2, seq_len(n), "==")),
                  cbind(diag(nP), -outer(pairs$V1, seq_len(n), "==") - outer(pairs$V2, seq_len(n), "==")),
                  cbind(matrix(0, nG, nP), outer(groups, df$indexR, "==")),
                  cbind((outer(gpairs[1,], pairs$G1, "==") &
                         outer(gpairs[2,], pairs$G2, "==")) |
                        (outer(gpairs[2,], pairs$G1, "==") &
                         outer(gpairs[1,], pairs$G2, "==")), matrix(0, nGP, n)))
  dir <- rep(c("<=", ">=", "="), c(2*nP, nP, nG+nGP))
  rhs <- rep(c(0, -1, 1), c(2*nP, nP, nG+nGP))
  library(lpSolve)
  mod <- lp("min", obj, constr, dir, rhs, all.bin=TRUE)
  which(tail(mod$solution, n) == 1)
}

这可以在您的示例数据集中计算最近的 3 个点，每个集群中的一个：

df[opt.closest(df),]
# A tibble: 3 x 3
#   indexR      x      y
#    <dbl>  <dbl>  <dbl>
# 1      1 638.24 323.76
# 2      2 591.86 249.57
# 3      3 441.53 513.37

它还可以为具有更多点和组的数据集计算最佳解决方案。以下是具有 7 个组和 100 和 200 个点的数据集的运行时：

make.dataset <- function(n, nG) {
  set.seed(144)
  data.frame(indexR = sample(seq_len(nG), n, replace=T), x = rnorm(n), y=rnorm(n))
}
df100 <- make.dataset(100, 7)
system.time(opt.closest(df100))
#    user  system elapsed 
#  11.536   2.656  15.407 
df200 <- make.dataset(200, 7)
system.time(opt.closest(df200))
#    user  system elapsed 
# 187.363  86.454 323.167 

这远非瞬时的——100 点、7 组数据集需要 15 秒，200 点、7 组数据集需要 323 秒。尽管如此，它还是比遍历 100 点数据集中的所有 9200 万个 7 元组或 200 点数据集中的所有 138 亿个 7 元组要快得多。您可以使用 Rglpk 包中的求解器设置运行时限制，以获得在该限制内获得的最佳解决方案。

Answer 2

您无法列举所有可能的解决方案，而且我看不到任何明显的捷径。

所以我猜你必须做一个branch and bound优化方法。

首先猜测一个相当好的解决方案。就像最近的两个带有不同标签的点一样。然后添加最近的带有不同标签的标签，直到覆盖所有标签。

现在做一些微不足道的优化：对于每个标签，尝试是否有某个点可以用来代替当前点来改进结果。当您找不到任何进一步的改进时停止。

对于这个初始猜测，计算距离。这将为您提供一个上限，使您可以提前停止搜索。您还可以计算下限，即所有最佳双标签解决方案的总和。

现在您可以尝试删除每个标签的最近邻居 + 所有其他标签的下限已经比您的初始解决方案更差的点。这有望消除很多点。

然后您可以开始枚举解决方案（可能首先从最小的标签开始），但只要当前解决方案 + 剩余的下限大于您最知名的解决方案（分支和界限），就停止递归。

您也可以尝试对点进行排序，例如通过与剩余标签的最小距离，希望快速找到更好的边界。

我当然不会选择 R 来实现这个...

Answer 3

您可以使用交叉连接来获得所有点的组合，计算所有三个点之间的总距离，然后取其中的最小值。

df$id <- row.names(df) # to create ID's for the points 

df2 <- merge(df, df, by = NULL ) # the first cross join 

df3 <- merge(df2, df, by = NULL)  # the second cross join 



#  eliminating rows where the points are of the same indexR

df3 <- df3[df3$indexR.x != df3$indexR.y & df3$indexR.x != df3$indexR 
           & df3$indexR.y != df3$indexR,]


## calculating the total distance 

df3$total_distance <- ((df3$x - df3$x.x)^2 + (df3$y- df3$y.x)^2)^.5 +
  ((df3$x - df3$x.y)^2 + (df3$y- df3$y.y)^2)^.5 +
  ((df3$x.x - df3$x.y)^2 + (df3$y.x- df3$y.y)^2)^.5

## minimum distance 

df3[which.min(df3$total_distance),]

indexR.x    x.x    y.x id.x indexR.y    x.y    y.y id.y indexR      x      y id total_distance
155367        3 441.53 513.37   61        2 591.86 249.57   46      1 638.24 323.76 42       664.3373

Answer 4

我开发了一个简单的算法来快速解决这个问题。第一步是在整个点区域上覆盖一个网格。第一步是将每个组中的每个点分配给它所在的单元格或单位正方形。接下来，我们转到图表的左下角，越过一个单元格，再上一个单元格。这是起始单元格。然后我们定义一个由该单元格及其所有 8 个邻居组成的感兴趣区域。然后进行测试以确定每个组中的至少一个点是否在这 9 个单元区域内。如果是这样，则计算从每个点组的该区域中表示的每个点到来自所有其他组的所有其他点的距离。换句话说，这个 9 单元区域中的所有点组合都用于获得总距离，其中用于计算距离的配对点永远不会来自同一组。从这些计算中，与每个组的单个点相关的最小距离被保存为可能的解决方案。然后通过向右移动一个单元格来重复整个过程。每个 9 单元区域是在中心单元向右移动时计算的。这是从右端停止一个单元格。当第一行完成时，该过程继续向上一行并从左侧重新开始，但又重新开始一个单元格。因此，当第一行完成时，每个单元格都已被考虑。解决方案将是根据对每个 9 细胞区域进行的所有测试计算得出的最小距离。

我们考虑一个 9 单元区域而不是逐个单元的原因是，我们可能会错过来自位于单元角落的不同组的紧密间隔点。

选择正确的单元格或网格大小很重要。如果单元太小，则将找不到可能的解决方案，因为没有一个区域将包含每个组中的至少一个点。如果单元格太大，则每组中的点数会很多，计算时间会过长。幸运的是，可以通过反复试验快速找到此最佳单元格大小。

我已经多次使用不同数量的组和一组中的点数运行此算法。对于所有组中的随机分散点，我发现 15 x 15 网格大小适用于 10 组 - 400 点（每​​组 40 点）的情况。该示例运行不到一秒钟。