如何表示伽罗瓦域 GF(2^8) 的元素并在 NTL 库中进行算术运算

Question

我是 NTL 库的新手，因为它的 GF2X、GF2E、GF2EX 等。现在，我想在 Galois 字段 GF(2^8) 上执行乘法运算。问题如下：

Rijndael (standardised as AES) uses the characteristic 2 finite field with 256 elements, 
which can also be called the Galois field GF(2^8). 
It employs the following reducing polynomial for multiplication:
x^8 + x^4 + x^3 + x^1 + 1.

例如，{53} • {CA} = {01} 在 Rijndael 的字段中，因为

(x^6 + x^4 + x + 1)(x^7 + x^6 + x^3 + x)
= (x^13 + x^12 + x^9 + x^7) + (x^11 + x^10 + x^7 + x^5) + (x^8 + x^7 + x^4 + x^2) + (x^7 + x^6 + x^3 + x)
= x^13 + x^12 + x^9 + x^11 + x^10 + x^5 + x^8 + x^4 + x^2 + x^6 + x^3 + x
= x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x

and
x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x modulo x^8 + x^4 + x^3 + x^1 + 1
=   (11111101111110 mod 100011011)
=   {3F7E mod 11B} = {01}
=   1 (decimal)

我的问题是如何在NTL 中表示减少多项式x^8 + x^4 + x^3 + x^1 + 1 和多项式x^6 + x^4 + x + 1 和x^7 + x^6 + x^3 + x。然后对这些多项式进行乘法运算，得到结果{01}。

这是我使用这个库的一个很好的例子。

Answer 1

再说一次，我不知道 NTL，我在 Windows 7 上运行 Visual Studio 2015。我已经下载了我需要的东西，但必须使用所有提供的源文件构建一个库，这需要一段时间才能完成弄清楚。但是，根据另一个答案，这应该可以帮助您入门。首先，初始化 GF(256) 的约简多项式：

GF2X P;                      // apparently the length doesn't need to be set
SetCoeff(P, 0, 1);
SetCoeff(P, 1, 1);
SetCoeff(P, 3, 1);
SetCoeff(P, 4, 1);
SetCoeff(P, 8, 1);
GF2E::init(P);

接下来，将变量赋值为多项式：

GF2X A;
SetCoeff(A, 0, 1);
SetCoeff(A, 1, 1);
SetCoeff(A, 4, 1);
SetCoeff(A, 6, 1);

GF2X B;
SetCoeff(B, 1, 1);
SetCoeff(B, 3, 1);
SetCoeff(B, 6, 1);
SetCoeff(B, 7, 1);

GF2X C;

看起来有一个乘法覆盖，因此假设乘法覆盖基于 GF(2^8) 扩展字段 GF2E::init(P)，这将起作用。

C = A * B:

---

正如问题后评论的那样，NTL 更面向大领域。对于 GF(256)，使用字节和查找表会更快。对于高达 GF(2^64)，具有无进位乘法 (PCLMULQDQ) 的 xmm 寄存器内在函数可用于在没有表格的情况下快速实现有限域数学（将需要一些常数，多项式及其乘法逆）。对于大于 GF(2^64) 的字段，需要扩展精度数学方法。对于字段 GF(p^n)，其中 p != 2 且 n > 1，无符号整数可以与查找表一起使用。构建表格将涉及整数和 GF(p) 多项式系数之间的一些映射。