如何测试 1000 位长的素数？答案

【问题标题】：how to test a prime number 1000 digits long?如何测试 1000 位长的素数？
【发布时间】：2010-11-19 21:59:50
【问题描述】：

我正在尝试找出 1000 位长的数字是否为素数。我想使用的算法是 6k+/-1

我面临的问题是如何在 java 中存储这么长的数字，它将字符串作为输入。

或

做除数应该只考虑数字的最后几位。

请指教

【问题讨论】：

你有足够的 CPU 能力来做这件事吗？这不是一件容易的事。
您可能需要考虑使用已经存在的软件来执行此计算。如果您可以避免重新发明轮子，那么重新发明轮子是没有意义的，而且现有的软件很可能会胜过您自己的混合物。
6k +/- 1 会告诉您它是否不是素数，或者它是否可能是素数。示例：k=6，35 不是素数。然而 723 == 3 (mod 6) 很快被确定为不是素数。如果 n == +-1 (mod 6)，你仍然需要一个素数测试

标签： java algorithm

【解决方案1】：

我认为您可以将 BigInteger 用于非常大的数字。

但是，您应该注意一件事，格式为 6k+1 的所有数字都是质数。例如

when k=341,
6k +1 = 6(341) +1 = 2046 + 1= 2047

Now 2047 can be divided by 23 like so

2047/23 = 89

因此在生成素数时使用它可能不是很好

【讨论】：

【解决方案2】：

如果您不是在寻找可编程方法，您也许应该问wolframalpha

f.x: “是 1754179634151752538176965974334085811645204614256364837827967 一个素数”

返回： “1754179634151752538176965974334085811645204614256364837827967 是质数！”

【讨论】：

【解决方案3】：

如果您不喜欢概率方法，也可以使用deterministic polynomial algorithm。

但除非有神在玩赔率并拉扯你的腿或其他什么，你可能应该只使用概率方法，它们更快。

【讨论】：

【解决方案4】：

您应该在基数 2 和 3 中使用 Lucas pseudoprime test 和 Rabin-Miller strong pseudoprime test。如果这三个都给出 可能是素数的结果，那么出于所有实际原因，您应该这样考虑。该测试没有已知的反例。如果您必须生成素数证书，则可以使用elliptic curve primality prover，但速度会非常慢。

【讨论】：

请注意，Java 的 isProbablePrime(int) 使用 Miller/Rabin- 和 Lucas/Lehmer 算法。
@Bart：记录在哪里？
@JasonS - 它在函数源代码上方的 cmets 中提到 :)
@xkcd -- 这不是文档。（实际上，您刚刚回复了一条 6 年半的评论？）您必须查看依赖于实现的源代码才能看到它。（例如 grepcode.com/file/repository.grepcode.com/java/root/jdk/openjdk/… 和私有的 passesMillerRabin 和 passesLucasLehmer 方法。

【解决方案5】：

如果确定一个数字是否可能是素数就足够了，您可以使用内置的isProbablePrime 函数

如果调用返回真，则该数为素数的概率超过 (1 - 1/(2^certainty))。
如果调用返回 false，则该数字肯定不是素数。

【讨论】：

嗯。我是唯一一个对 BigInteger 的可能素数方法的 javadoc 不包含有关使用哪种算法的文档感到非常不安的人吗？
@Jason - 为什么这会打扰你？ javadoc 的目的是帮助 API 的用户知道如何使用它，而不是暴露内部实现细节。细节在源代码中写得很清楚。
该函数运行得非常好而且速度很快，我将它与 gcd() 一起使用来不断分解一个存储两个 BigInt 的有理类来生成具有无限精度的有理数。它总是足够快地执行一些相当大的计算——即使是对两个由虚数组成的小矩阵进行运算，每个虚数都由两个 BigRational 数字组成——从用户的角度来看，大多数运算仍然几乎是瞬时的。
Here is the OpenJDK implementation for BigInteger#isProbablePrime(int certainty)。它调用包私有方法primeToCertainty(int certainty, Random random)，然后使用passesMillerRabin(rounds, random) 和passesLucasLehmer();。这应该会给你一些线索:)

【解决方案6】：

6k +/- 1 不是素数测试！如果您已经知道数字 Q 是素数（并且更大比 7)，知道它的形式 6k +/- 1 告诉你它是否“安全”—— Q+1 和 Q-1 都有很大的因数，使得 Q 更难因数（因此对于加密目的来说是“安全的”）。但大多数 6k +/- 1 形式的数都是复合数。

"Safe Prime" page from Wikipedia

如果想编写自己的例程来测试 1000 位数字的素数，您需要使用 BigInteger 类，正如其他答案所建议的那样。你可以使用费马首先测试，它会告诉你这个数字是“绝对合数”还是“可能是素数”。然后，您可以使用计算量更大的测试，例如 Miller-Rabin 或 Solovay-Strassen 关于最终确定测试的“可能是素数”。

Primality testing algorithms from Wikipedia

【讨论】：

所有大于 3 的素数都是 6k +/- 1 的形式。你是对的，因为它不是对素数的测试，但它是对素数的有效且相当快速的测试。如果 (p-1) % 6 ！ 0 和 (p+1) % 6 != 0 那么这个数不是素数。是的，它会产生很多误报，但不会产生任何误报。

【解决方案7】：

你可以一起使用一些想法。

算法 6k +/-1
检查直到除数小于 sqrt(prime)
仅检查除以素数

结合这些方法，您可以大大加快验证速度。

此链接可以帮助您： http://www.osix.net/modules/article/?id=791

当然还要使用 BigInteger。

【讨论】：

【解决方案8】：

一个 1000 位数字使用 BigDecimal 使用的内存少于 350 字节。您应该会发现您可以处理比这大得多的数字。

你会发现的问题是你需要检查很多个数字，大约 10^31，这需要很长时间，大约 10^18 年。

【讨论】：

【解决方案9】：

如果您需要处理 32/64 位空间之外的整数，您应该使用 BigInteger。不知道您是否需要担心实际限制。

【讨论】：