除法和乘以 2 的幂答案

【问题标题】：division and multiplication by power of 2除法和乘以 2 的幂
【发布时间】：2014-11-05 09:53:54
【问题描述】：

我在一篇论文中读到，一个数字除以 2 的幂是一个简单的过程。我在互联网上搜索了很多解释，但没有得到它。谁能用简单的话解释一下这实际上是什么意思。

【问题讨论】：

人类的除法乘以10是一样的。你怎么能把任何数字乘以 10？只需添加一个零。
小心：一旦您尝试跟踪乘法时的溢出或除法时的余数，它可能不像您希望的那样微不足道。

标签： binary bit-manipulation computer-science division multiplication

【解决方案1】：

从位操作的角度来看，这是微不足道的。乘以 2 相当于左移 1 位，除法是右移。同样，乘以和除以 2 的任何幂都是一样的简单。

int a = 123;           // or in binary format: a = 0b01111011;

assert (a * 2) == (a << 1);   // 2 = 2^1, (a << 1) = 11110110
assert (a / 2) == (a >> 1);   // 2 = 2^1, (a >> 1) = 00111101

assert (a * 8) == (a << 3);   // 8 = 2^3, (a << 3) = 1111011000
assert (a / 8) == (a >> 3);   // 8 = 2^3, (a >> 3) = 0000001111

还要注意a*2 = a+a，加法有时甚至比移位更便宜，具体取决于硬件。

对于有符号除法，请注意，在某些语言（例如 C）中，整数除法会向零截断，而算术右移（将符号位的副本移入 2 的补码）总是向 -Infinity 舍入。例如(-5)/2 == -2，但(-5) >> 1 == -3。实现有符号除以 2 仍然可以通过移位 + 额外操作来添加符号位以获得截断行为。（查看 C 编译器输出。）

【讨论】：

【解决方案2】：

由于所有数字都以二进制形式存储，因此乘法/除法是一种简单的位移运算。

例如（乘法）：

5 = 101（二进制）
5 * 2 = 10 = 1010（二进制） - 将所有位向左移动 1 位
5 * 4 = 20 = 10100（二进制） - 将所有位向左移动 2 个位置

这同样适用于除法（右位移操作），但如果需要余数，则需要考虑奇数除法的进位。

【讨论】：

【解决方案3】：

在这种情况下，重要的是除以 2（或 2 的幂）仅对整数算术是微不足道的。当您谈论浮点除法时，它变得不那么微不足道了。

这样做的原因是，除以某些数字系统（二进制、八进制、十六进制，等等）的基数时，总是可以通过简单的数字右移来完成。

例如，在十进制除以十的情况下，您有：

230.0 / 10.0 = 23.00

（将小数点左移一位，即数字右移）

十六进制数也一样：

0xA2FF / 0x10 = 0xA2F

（数字右移一位）

对于二进制数也是如此：

1101011 / 10 = 110101 (binary notation)
107     /  2 = 53     (decimal notation for the same equation)

如果要除以 2 的幂，则需要执行的右移次数对应于指数。例如，除以 4 表示除以 2*2，等于两次右移操作：

1101011 / 100 = 11010 (binary notation, two shift operations)
107     /   4 = 26    (decimal notation)

【讨论】：

二进制浮点格式（例如IEEE754 binary64 aka double）只需在指数字段中加减就可以很便宜地乘以或除以2的幂！（不过，您必须检查是否有溢出）。硬件并不总是将此作为单独的操作提供，因此您通常只需将0.5 与常规指令相乘即可。 AVX512F 有，带有vscalefsd (scale scalar double by 2^floor(x))，以及相关的浮点和 SIMD 版本
我猜这就是你所说的less琐碎的意思，而不是not琐碎的，但是对于硬件来说实现起来相当琐碎。

【解决方案4】：

基本上是一个数的2次方的乘除，如果用二进制表示，只需要把所有的二进制位左移或右移即可：

00100 即 4，如果你想乘以 2*2*2，你只需将剩下的所有数字翻译 3 次：

100000 正好是 32 (4 * 8 = 32)

反之亦然

【讨论】：