查找有向图上是否存在从 v 到 t 的非简单路径答案

【问题标题】：Find if there is a non-simple path from v to t on a directed graph查找有向图上是否存在从 v 到 t 的非简单路径
【发布时间】：2014-06-14 05:19:49
【问题描述】：

我正在寻找最简单的算法，它可以判断（返回真或假）在给定有向图的情况下顶点 v 和 t 之间是否存在非简单路径。

我不介意使用 BFS、DFS、Dijkstra 或任何其他有助于解决此问题的算法，我试图获取 SCC 图，但找不到任何用处。

任何帮助将不胜感激！

谢谢！

【问题讨论】：

标签： algorithm graph computer-science graph-algorithm depth-first-search

【解决方案1】：

Step 0: 如果没有从 v 到 t 的路径，那么答案是否定的。

Step 1: 将 G 的所有强连通分量折叠后生成图 G'。

Step 2: 如果顶点'v'是某个由多个顶点组成的SCC的一部分，那么肯定存在非简单路径。同样，如果顶点 't' 是由超过 1 个顶点组成的某个 SCC 的一部分，则答案为“是”。

Step 3: 如果 step2 不正确。然后确定图 G' 中是否存在从 v 到 t 的任何路径，该路径通过一个顶点，该顶点被折叠成 2 个或更多顶点的强连通分量。如果是，那么答案是肯定的，否则答案是否定的。

运行时间：上述算法中每个步骤的 O(M+N)。因此总体O(M+N)。

编辑：关于如何在线性时间内执行第 3 步：

对于 G' 中的每个顶点，维护两件事：

该顶点的大小。（为这个 SCC 顶点收缩的 G 的顶点数）
这个顶点是否可以从 t 到达。（我们可以通过在 G' 的反向图上从 t 运行 dfs 来计算）

现在，如果存在从 G' 中的顶点 'vertex' 到通过任何大小 >= 2 的 SCC 顶点的顶点 t 的路径，则以下函数 throughSCC(int vertex) 将返回 true。该函数的伪代码：

boolean throughSCC(int vertex){
    if(!reachable[vertex]){
        return false;
    }
    if(sz[vertex] >= 2){
        return true;
    }
    for(all neighbours X of vertex){
         if(throughSCC(X)){
              return true;
         }
    }
    return false;
}

【讨论】：

当顶点 v 是一个 SCC（它自己）并且顶点 t 也是一个 SCC 时会发生什么......你能说它们之间有一条非简单路径吗？
如果 v 在超过 1 个元素的 SCC 中，则存在非简单路径。顶点 t 相同。如果这两个条件都成立，那么答案肯定是肯定的。
可能是 s/2 个或更多顶点的分量/2 个或更多顶点的分量，或一个具有自环的顶点/
@NikunjBanka 但如果 v 是 SCC 中唯一的一个顶点，那么 t 也是？我可以说绝对没有非简单的路径？
@NikunjBanka 谢谢你的回答！你能解释一下第3步吗？ “折叠到 SCC 中的顶点”是什么意思？

【解决方案2】：

由于 SCC 算法有点烦人，这里有一个替代算法。遍历一次以确定哪些顶点可以从 v 到达。从 t 向后遍历，忽略从 v 无法到达的顶点，寻找一个循环。如果找到这样的循环，则报告存在非简单路径。

【讨论】：