在有向图中检测循环

Question

我在 SO 阅读了关于在有向图中找到循环的讨论 here。现在，OP 声称我们需要验证 两 件事：

1. 从u 到v 有一个后沿
2. v 在递归堆栈中

为什么我们需要第二次测试？你能举个例子来证明它的必要性吗？

Answer 1

仅我们已经访问过v这一事实是不够的。它允许我们从u 到v，但不能从v 到u。

简单的图形反例：

数字是遍历顺序。我们有一个从 4 到 3 的后沿，但我们没有任何循环。

Answer 2

好吧，您可能对有向图中的后边的定义和无向图中的后边的定义感到困惑。是的，它们是不同的。

在无向图中，后边是从当前顶点到已经访问过的顶点的边。 （正如您提到的链接中的 OP）。
在有向图中，后边的定义是不同的。有向图中的后边是从当前顶点到灰色顶点的边（该顶点的 DFS 已经开始但尚未完成），这意味着它仍在递归堆栈中。

因此，如果您在有向图中采用后边的定义，那么是的，它足以检测循环。
但是，如果您将后边定义为无向图中的定义，那么您还需要确保 v 在递归堆栈中以检测循环。

有关更多信息和示例，请参阅 this 和 this。

示例：
考虑 DFS 访问顺序为A -> B -> C。
在这个例子中，边 <A,C> 是下图中的后边（因为 C 已经被访问过）。
但它不是这个有向图中的后边——C 已经被访问过但不在递归堆栈中，这意味着它不是一个循环。

Answer 3

当它是交叉边缘而不是后边缘时，需要进行第二次测试。交叉边是指从一个顶点到已经访问过的顶点的边，无论位置如何。 后边指的是指向起始顶点的祖先的边，该祖先仍在递归堆栈中。就如何提出问题而言，OP 将后边缘称为指向另一个已访问边缘的边缘，但更准确的解释是交叉边缘。知道它是一个后边缘就足够了，因为它意味着第二步。当第一个是交叉边缘时需要这些步骤，因为第二个证明交叉边缘是后边缘。在有向图中，交叉边并不总是意味着发生循环。这是一个例子：

vertices a,b,c,d
a->b
a->c
b->d
d->c

根据处理的顺序，d->c 可以被认为是交叉边缘，因此需要第 2 步来检测循环。不幸的是，后边缘和交叉边缘经常混淆，导致这样的混乱。这是一个链接到另一个描述两者之间差异的链接，Depth-First Search。