foo算法的复杂度

Question

我有这个无法解决的问题.. 这个 foo 算法的复杂度是多少？

int foo(char A[], int n, int m){
  int i, a=0;
  if (n>=m)
    return 0;
  for(i=n;i<m;i++)
    a+=A[i]  
  return a + foo(A, n*2, m/2);
}

foo 函数被调用：

foo(A,1,strlen(A));

所以.. 我猜它是 log(n) * 内部 for 循环的东西.. 我不确定它是 log(n) 还是什么..

可能是 log^2(n) 的 theta 吗？

Answer 1

我不确定是否有“快速而肮脏”的方法，但您可以使用旧的好数学。没有花哨的定理，只有简单的方程式。

在第 k 层递归（k 从零开始），循环将有~ n/(2^k) - 2^k 迭代。因此，对于0 <= i <= l，循环迭代的总次数将是S = sum(n/2^i) - sum(2^i)，其中l是递归的深度。

l 大约是log(2, n)/2（证明这一点）。

将公式中的每个部分分别转换为S，我们得到。

S = (1 + 2 + .. + 2^l)*n/2^l - (2^(l + 1) - 1) ~= 2*n - 2^(l + 1) ~= 2*n - sqrt(n)

由于除了循环之外的其他语句只会重复l 次，我们知道l ~= log(2, n)，它不会影响复杂性。

所以，最后我们得到O(n)。

Answer 2

这是主定理的一个很好的应用：

根据 n 和 X = m-n 重写：

int foo(char A[], int n, int X){
  int i, a=0;
  if (X < 0) return 0;
  for(i=0;i<X;i++)
    a+=A[i+n]  
  return a + foo(A, n*2, (X-3n)/2);
}

所以复杂度是

T(X, n) = X + T((X - 3n)/2, n*2)

注意到惩罚随着X增加而随着n减少，

T(X, n) < X + T(X/2, n)

所以我们可以考虑复杂性

U(X) = X + U(X/2)

并将其代入主定理以求 U(X) = O(X) --> 复杂度为 O(m-n)