验证语法是否强 LL(2)

Question

Sudkamp 的语言和机器的问题 19.5 要求读者验证语法

G : S' -> S##
    S  -> aSa | bSb | λ

很强大LL(2)。变量 S 的 FIRST 和 FOLLOW 集是使用算法 19.5.1 计算的（第 583 页，第 3 版）：

FIRST(2)(S)   = {λ,aa,bb,ab,ba}

FOLLOW(2)(S)  = {##,a#,b#,aa,bb,ab,ba}

很明显，S 规则的长度为 2 的前瞻集不会分割S 的长度为 2 的前瞻集，因为S -> λ 规则导致了长度为 2 的前瞻由FOLLOW(2)(S)组成的集合：

LA(2)(S)        = {##,a#,b#,aa,bb,ab,ba}

LA(2)(S -> aSa) = {a#,aa,ab}
LA(2)(S -> bSb) = {b#,bb,ba}
LA(2)(S -> λ)   = {##,a#,b#,aa,bb,ab,ba}

现在我可能在计算G 的FIRST、FOLLOW 或LA(2) 集时出错。但是，我相当有信心我已经正确执行了算法。特别是，我可以回到他们的定义：

FIRST(2)(S)  = trunc(2)({x : S =>* x AND x IN Σ*})
             = trunc(2)({uu^R : u IN {a,b}^*})
             = {λ,aa,bb,ab,ba}

FOLLOW(2)(S) = trunc(2)({x : S' =>* uSv AND x IN FIRST(2)(v)})
             = trunc(2)({x : x IN FIRST(2)({a,b}^*{##})})
             = trunc(2)({##,a#,b#,aa,bb,ab,ba})
             = {##,a#,b#,aa,bb,ab,ba}

现在的问题是：为什么语法强 LL(2)。如果 S 规则的长度为 2 的前瞻集没有对 S 的长度为 2 的前瞻集进行分区，则语法应该不强LL(2)。但我无法得出本书所期望的结论。我不明白什么？

Answer 1

这里有一个解决方案。上面给出的语法G 不强LL(2)。要了解这一点，请回忆一下强 LL(k) 语法的定义。语法 G 是 LL(k) 对于某些 k > 0 如果，只要有两个最左边的推导

S =>* u1Av1 => u1xv1 =>* uzw1          S =>* u2Av2 => u2yv2 =>* u2zw2

其中ui,wi IN Σ* 对应i IN {1,2}，|z| = k，然后是x = y。考虑上面语法G 中的以下最左边的推导：

S =>* aaSaa##  (u1 = aa, v1 = aa##)    S =>* baSab##   (u2 = ba, v2 = ab##)
  =>1 aaaa##   (x = λ)                   =>1 baaSaab## (y = aSa)
  =>* aaaA##   (z = aa, w1 = aa##)       =>* baaaab##  (z = aa, w2 = ab##)

推导满足强LL(2) 语法定义的条件。但是，λ \= aSa，因此 G 并不强 LL(2)。

显然，我们可以构建许多最左边的推导来证明G 不强LL(2)。但是G不强LL(2)还有其他几个原因。例如，很明显G 无法被确定性下推自动机识别，因为无法确定何时开始从堆栈中移除元素。