给定代码的渐近分析答案

【问题标题】：Asymptotic analysis of a given code给定代码的渐近分析
【发布时间】：2018-11-03 03:24:13
【问题描述】：

我得到了以下伪代码：

 j = 1
 while j < n:
      k = 2
      while k < n:
           k = k*k
      j++

在我看来，这段伪代码将具有以下复杂性：

 O(n*log(n))

由于外部循环执行 n 次。而内部循环基本上每次将增量分成一半。我的想法是不是太过分了？

编辑：另外 1 个（我保证，这些不是作业，只是要理解的示例）

 for i = 1 to n:
    for j = 1 to n:
       k = j*j
       while k < n:
          k++

在这种情况下，最外层的循环将执行 n 次。中间循环也将执行 n 次，现在我们将执行 n² 次。据我了解，最里面的循环将执行 log(n) 次，使我们处于 O(n²*log(n)) 次。我的理解正确吗？

【问题讨论】：

你确定你写的伪代码正确吗？我看到这个的方式有一个大小为 n 的外循环和一个大小为 n-1 的内循环，所以这应该是 O(n^2)。我假设 k++ 在内部循环中并且“做某事”是 O(1)。
什么是“做某事”？
@Mitchel0022 做某事只是意味着做你在循环中所做的任何事情。编辑删除它
@idnavid 我最初写错了。修好了。

标签： algorithm big-o computer-science asymptotic-complexity

【解决方案1】：

我是O (n log log n)。

就时间而言，外部循环只是重复内部循环n 次，因此它贡献了n 的乘数。

内部循环比较复杂，它会重复对k 求平方。看看情况如何： 2^1 -> 2^2 -> 2^4 -> 2^8 -> 2^16 -> 2^32 -> ... 因此，例如，如果n = 2^32，则循环将有5 迭代。这里，log_2 (n) 是 32，log_2 (32) 是 5。

一般情况下，如果n = 2^(2^r)，则内循环将在r 迭代后到达n。通过取对数，我们得到log n = 2^r。通过再次取对数，我们有log log n = r。您可能知道，在处理渐近行为时，对数的底并不重要，只要它是常数即可。

所以，我们有一个循环的n 迭代，它本身进行log log n 迭代，使整体复杂度O (n log log n)。

【讨论】：

一开始有点反直觉，但有道理。如何将其重写为 nlogn？步骤是什么？
@basil 将 k = k*k 替换为 k = k*2 或任何其他常量 > 1
我又加了一个例子，我的理解正确吗？
@basil 如果您有新问题，请将其作为单独的问题发布。
@basil 添加的内容完全不同。而且您没有为自己的答案提供任何理由（“最里面的循环，据我了解，它将执行 log(n) 次”）。也许尝试找到这样的推理，如果您没有成功，请将其作为单独的问题发布。无论如何，请从问题中删除添加内容以保持一致。

【解决方案2】：

是的，你是对的，第一个循环是 O(n)。第二部分有点棘手。我打算用理性而不是严谨来展示它的 O(logn)。

所以让我们先假设它是k = k * 2。这是一个熟悉的序列，我们称为O(logn)，但是我们看到k >= 2 用于任何给定的循环，所以我们知道序列k = k*k 将在上面以O(logn) 为界，也就是说它在most O(logn)。很容易看出它不是O(1)，所以我们知道 O(1) 是一个下限。一起来领取O(nlogn)

【讨论】：

虽然确实有一个上限 O (n log n)，但更严格的界限是 O (n log log n)，如我的回答所示。

【解决方案3】：

O(n log(n))

k^log(n) 正是 k 等于或大于 n 的值。

log(n) = x 表示 2^x = n

你运行循环 n 次。

所以复杂度是 O(n * log(n))

【讨论】：