O(3^n) 仍然写成 O(2^n) 吗？答案

【问题标题】：Is O(3^n) still written as O(2^n)?O(3^n) 仍然写成 O(2^n) 吗？
【发布时间】：2020-11-29 07:34:04
【问题描述】：

我想知道具有指数最差时间复杂度的算法是否应该始终将其表示为 O(2^n)。例如，如果我有一个算法，对于输入大小的每个加法运算操作三倍，我会将其时间复杂度写为 O(3^n)，还是仍将其分类为 O(2^n)。

任何正式的解释将不胜感激。

【问题讨论】：

3^n 与2^(log3 * n) 相同。所以3^n 的复杂性与2^m 相同，其中m=log3*n。
回到定义：对于所有足够大的n，是否有一个常数C 使得3^n <= C*2^n？绘制3^n / 2^n 的图表应该可以很清楚地表明答案，并且数学证明并不难。

【解决方案1】：

不，O(2^n) 和 O(3^n) 是不同的。如果 3^n 是 O(2^n)，那么对于所有大的 n，会有一个常数 k 使得 3^n

【讨论】：

【解决方案2】：

3^n != O(2^n).

让我们假设这是真的。然后存在常量c 和n0 使得3^n ≤ c * 2^n 代表所有n ≥ n0。

对于所有n ≥ n0，最后一个要求等同于(3/2)^n ≤ c。

但是，(3/2)^n → ∞ 与 n → ∞ 一样，因此对于任何常量 c，(3/2)^n ≤ c 不可能对所有 n ≥ n0 都为真。

【讨论】：