为什么是 {a^nb^n | n >= 0} 不规则？

Question

在我正在学习的 CS 课程中，有一个不规则语言的示例：

{a^nb^n | n >= 0}

我可以理解这是不规则的，因为无法编写有限状态自动机/机器来验证和接受此输入，因为它缺少内存组件。 （如有错误请指正）

wikipedia entry on Regular Language 也列出了这个例子，但没有提供（数学）证明它为什么不规则。

谁能启发我并为此提供证据，或者给我指出一个很好的资源？

Answer 1

你要找的是Pumping lemma for regular languages。

这里是 example 与您的确切问题：

示例：
令 L = {a^mb^m | m≥1}。
那么 L 不是正则的。
证明：令 n 与 Pumping Lemma 相同。
令 w = aⁿbⁿ。
让 w = xyz 就像在 Pumping Lemma 中一样。
因此，xy²z ∈ L，然而，xy²z 包含的 a 比 b 多。

Answer 2

因为您无法编写一个有限状态机来“计数”相同的“a”和“b”符号序列。简而言之，FSM 无法“计数”。试着想象这样一个 FSM：你会给符号“a”多少个状态？ “b”有多少？如果你的输入序列有更多呢？

请注意，如果你有 n

Answer 3

有限状态自动机没有数据结构（堆栈）-内存，就像下推自动机一样。是的，它可以给你一些'a'，然后是一些'b'，但不是'a'的确切数量，然后是'b'。

Answer 4

原因是，只有在没有的情况下，你才必须达到最终状态。 'a' 和没有。 'b' 在输入字符串中相等。要做到这一点，你必须同时计算两者，没有。 'a' 以及没有。 'b' 的值，但因为 'n' 的值可以达到无穷大，所以使用有限自动机无法计数到无穷大。

这就是为什么 {a^n b^n | n >= 0} 不规则。

Answer 5

假设 L = {aⁿbⁿ | n ≥ 0} 是正则的。然后我们可以使用抽水引理。

令 n 为抽水引理数。考虑 w = aⁿbⁿ∈L。抽水引理指出，您可以将 w 划分为 xyz，使得 xy ≤ n、y ≥ 1 和 ∀ i∈ℕ₀: xyⁱz∈L.

使用前两条规则我们可以很容易地看出，无论我们如何将 w 划分为 xyz，y 总是只包含 as 并且它将包含至少一个这样的字母。根据规则 3，我们得出结论 a^n-kbⁿ∈L 其中 k = |y| ≥1。但是nk≠n违反了L的定义，所以a^nkbⁿ∉L。这是一个矛盾?，我们得出结论，L 是正则的假设是错误的。

Answer 6

让我在这里举例说明：

L = {a^n.b^n | n >= 0};

L 中接受的最小长度字符串是：

{ε, ab, aabb, ...} => 最小值 w = ab;

我没有使用n == 0，因为对于n == 0，y 永远不可能是|y| > 0。

我们先来x = ε，然后y = a和z = b或y = ab和z = ε，因为|y| > 0和|xy| <= 2（因为它是一种无限的语言，p（这里是2）可以与字符串长度一样最大reference here)

抽完y = a:

L' = aab, aaab, aaaab, aaaaab;

抽完y = ab:

L' = abab, ababab, abababab;

现在，取x = a，然后取y = b 和z = ε； 抽完y = b:

L' = abb, abbb, abbbb, abbbbb;

再次检查 w = aabb : w 在 L 中；

对于x 可以是ε, a, aa, aab， 那么y 可以是a, aa, bb, ab, aab, ... aabb 而z 可以是ε, b, bb, abb；

在上述所有情况下，L' 在抽取任何长度的y 后生成的L 都不会被接受。 L' 要么 a、b 不相等，要么顺序不符合定义。因此，L = {a^n.b^n | n >= 0}; 不规则，因为它失败了Pumping lemma for regular languages。