从数组中选择总和最接近目标值的值的算法？

Question

我有一个 几乎 排序值 28 个元素长的数组。我需要找到与提供给算法的目标值相加的一组值（或者如果找不到确切的总和，则最接近的总和低于目标值）。

我目前有一个简单的算法可以完成这项工作，但它并不总能找到最佳匹配。它在具有一组特定值的理想情况下工作，但我需要一个更强大、更准确的解决方案来处理更广泛的数据集。

算法必须用 C 而不是 C++ 编写，并且适用于嵌入式系统，因此请记住这一点。

这是我当前的算法供参考。它从可用的最高值开始迭代。如果当前值小于目标总和，则将该值添加到输出并从目标总和中减去。重复此过程，直到达到总和或用完值。它假定一个几乎升序的排序列表。

//valuesOut will hold a bitmask of the values to be used (LSB representing array index 0, next bit index 1, etc)

void pickValues(long setTo, long* valuesOut)
{
    signed char i = 27;//last index in array
    long mask = 0x00000001;

    (*valuesOut) = 0x00000000;
    mask = mask<< i;//shift to ith bit
    while(i>=0 && setTo > 0)//while more values needed and available
    {
        if(VALUES_ARRAY[i] <= setTo)
        {
            (*valuesOut)|= mask;//set ith bit
            setTo = setTo - VALUES_ARRAY[i]._dword; //remove from remaining         }
        //decrement and iterate
        mask = mask >> 1;
        i--;
    }
}

更多参数：

• 值数组很可能按升序接近排序，但无法强制执行，因此假设没有排序。其实也可能有重复值。

• 数组很可能会保存一组值，这些值无法创建其范围内的每个总和。如果无法找到准确的总和，算法应返回创建下一个最低总和的值。

Answer 1

这个问题被称为子集和问题，它是Knapsack problem 的一个特例。维基百科是一些算法的良好起点。

Answer 2

正如其他人所指出的，这与子集和问题的优化版本相同，即 NP-Complete。

由于您提到您的内存不足并且可能使用近似解决方案（基于您当前的解决方案），因此存在多项式时间近似算法来解决子集和的优化版本。

例如，给定 e > 0，有一个多项式时间算法使用 O((n*logt)/e) 空间，（t 是目标总和，n 是数组的大小）它给你一个子集，使得总和 z 不小于最优值的 1/(1+e) 倍。

即如果最大的子集和是 y，那么算法找到一个子集和 z 使得

z <= y <= (1+e)z

并使用空间 O((n*logt)/e)。

这样的算法可以在这里找到：http://www.cs.dartmouth.edu/~ac/Teach/CS105-Winter05/Notes/nanda-scribe-3.pdf

希望这会有所帮助。

Answer 3

如果值相当小，则它是一个简单的动态规划 (DP)。时间复杂度为 O(n * target)，内存需求为 O(target)。如果这让你满意，网上有很多 DP 教程。例如，这里第一个讨论的问题（使用计数）与您的非常相似（除了它们允许多次使用每个数字）：
http://www.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=dynProg

更新 是的，正如其他人所说，这是一个简单的背包问题。