基于动态规划的字符串

Question

我在动态规划中有这些问题，我需要提供一个基于动态规划的解决方案：

我们有长度为 n 的字符串，并且只包含 {A,B,C} 字符。字符串只有在连续不包含 3 个 A 并且最多包含一个 'B' 时才是“赢家”。 例子： 有 43 个长度为 4 的“获胜者”字符串。 我需要建议一种算法来计算长度为 n 的“获胜”字符串的数量。它需要以 O(n) 复杂度运行。

到目前为止我想到的是： 3个参数：n-当前字符串的长度，bCount=1，aCount=2。 在每次迭代中，n 减 1。如果我们使用 b，则 bCount 减 1。如果我们使用 A，则 aCount 减 1，但如果插入了任何其他字符，则它初始化为 2。

我需要把它正式和明确，希望你能帮助我填补空白，使解决方案正式。

我真的很努力解决它，如果有人能帮助我，我将非常感激。

提前谢谢你。

Answer 1

首先让我们看看 B。您要么没有 B，因此长度为 n 的字符串只有 A 和 C，或者您有一个包含 1 个 B 和 2 个子字符串的字符串，累积长度为 n - 1，只有 A 和 C . 因此，如果您可以计算任意长度字符串的所有有效 A 和 C 组合，那么剩下的就变得容易了。

function winners(n) {
    let sum = combos[n]
    for (let i = 0; i < n; i++)
        sum += combos[i] * combos[n - i - 1]
    return sum
}

如何计算 A、C 组合？您可以使用动态编程（总是查看有多少字符串以 A、C 和 AA 结尾）：

combos = [1, 2]
endsInA = 1
endsInC = 1
endsInAA = 0
for (let i = 2; i <= n; i++) {
    combos[i] = (endsInA + endsInC) * 2 + endsInAA
    let c = endsInC
    endsInC = endsInA + endsInAA + c
    endsInAA = endsInA
    endsInA = c
}

它是(endsInA + endsInC) * 2 + endsInAA，因为在以A或C结尾的后面可以放A或C，而在以AA结尾的后面只能放C。更新规则也很容易理解。以 AA 结尾的字符串与之前以 A 结尾的字符串一样多，以 A 结尾的字符串与之前以 C 结尾的字符串一样多。 C 可以放在所有字符串的后面，所以它只是之前所有可能结尾的总和。你也可以先更新，然后只取所有结局的总和来获得连击数。

Everything put together and optimized for a demo

计算组合需要 O(n)，计算获胜者需要 O(n)，因此整个复杂度是 O(n)。