计算大型组合答案

【问题标题】：Computing large combinations计算大型组合
【发布时间】：2014-02-07 16:26:45
【问题描述】：

你将如何计算一个组合，例如（100,000 选择 50,000）？

到目前为止，我已经尝试了三种不同的方法，但由于显而易见的原因，每种方法都失败了：

1) 动态编程 - 数组的大小变得如此荒谬，以至于出现段错误

unsigned long long int grid[p+1][q+1];

//Initialise x boundary conditions
for (long int i = 0; i < q; ++i) {
  grid[p][i] = 1;
}

//Initialise y boundary conditions
for (long int i = 0; i < p; ++i) {
  grid[i][q] = 1;
}


for (long int i = p - 1; i >= 0; --i) {
  for (long int j = q - 1; j >= 0; --j) {
     grid[i][j] = grid[i+1][j] + grid[i][j+1];
   }
}

2) 蛮力 - 显然计算甚至 100！不现实

unsigned long long int factorial(long int n)
{
  return (n == 1 || n == 0) ? 1 : factorial(n - 1) * n;
}

3) 乘法公式 - 我无法存储它们太大的值

const int gridSize = 100000; //say 100,000
unsigned long long int paths = 1;

for (int i = 0; i < gridSize; i++) {
    paths *= (2 * gridSize) - i;
    paths /= i + 1;
}

// code from (http://www.mathblog.dk/project-euler-15/)

如果它有助于上下文，其目的是解决大型输入的“通过 m×n 网格有多少条路线”问题。也许我错过了解决问题？

【问题讨论】：

标签： c++ algorithm permutation dynamic-programming combinatorics

【解决方案1】：

C(100000, 50000) 是一个包含 30101 个十进制数字的巨大数字：http://www.wolframalpha.com/input/?i=C%28100000%2C+50000%29

显然unsigned long long 不足以存储它。你需要一些任意的大整数库，比如 GMP：http://en.wikipedia.org/wiki/GNU_Multiple_Precision_Arithmetic_Library

否则，乘法公式应该足够好了。

【讨论】：

【解决方案2】：

“你将如何计算……”很大程度上取决于所需的准确度。精确结果只能使用任意精度数（例如 GMP）来计算，但您很可能并不需要确切的结果。

在这种情况下，我将使用斯特林近似法 (http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation) 并使用双精度数进行计算。展开式中的和数可用于调节误差。维基百科页面也会给你一个错误估计。

【讨论】：

【解决方案3】：

这是可能有帮助的递归公式：-

NCk = (N-1)C(k-1)*N/K

首先对 (N-1)C(K-1) 使用递归调用，然后根据结果评估 NCk。

由于您的数字将非常大，请使用以下替代方案之一。

GMP

使用您自己的实现，您可以将数字作为二进制位序列存储在数组中，并使用 boot 算法进行乘法运算移位和减法进行除法。

【讨论】：