我有这个程序
//h is our N
static int g=0;
int fun(int h){
if(h<=0){
g++;
return g;
}
return g+fun(h-1)+fun(h-4);
}
是否可以使用动态编程来加快速度？
我发现这个函数在 O(2^n) 中运行
我应该通过动态编程来减少运行时间，但不明白这个概念。
只是要求朝正确的方向轻推。
【问题讨论】：
如果我们定义 g+fun(h-1)+fun(n-4) 中的求和顺序是从左到右，那么这是一个很好定义的问题。这样我得到了 fun(n), n=1,...,15 的值：
3, 6, 10, 15, 33, 74, 154, 295, 575, 1143, 2269, 4414, 8508, 16396, 31634
fun(n) 的返回值被评估为具有非降序元素的求和序列。每个加数都比前一个大（返回 g++;）或与前一个相同（返回 g+fun()+fun()）。返回语句的执行顺序仅取决于 fun() 输入参数。因此，将 g 设置为初始值！= 0 我们得到与 g=0 相同的加数，但对于相同的初始值，每个加数都更大。 这样，初始 g > 0 的 fun(n) 将返回 g * 执行的返回语句数 大于初始 g = 0 的值。
将A(n)定义为执行fun(n)时执行的return语句数，在if子句中定义G(n)执行return语句数（与g++语句执行数相同） .对于 A 和 G 成立：
A(n) = A(n-1) + A(n-4) + 1
G(n) = G(n-1) + G(n-4)
A(n) = 1 and G(n) = 1, for n <= 0
从这些观察可以看出，对于 n > 0 成立：
fun(n) = fun(n-1) + G(n-1) * A(n-4) + fun(n-4)
简单的python实现：
def x( h ):
Rg = { -3:1, -2:1, -1:1, 0:1 }
Ra = { -3:1, -2:1, -1:1, 0:1 }
F = { -3:1, -2:1, -1:1, 0:1 }
for i in xrange( 1, h+1 ):
F[i] = F[i-1] + Rg[i-1]*Ra[i-4] + F[i-4]
print i, F[i]
Rg[i] = Rg[i-1] + Rg[i-4]
Ra[i] = Ra[i-1] + Ra[i-4] + 1
@stakx：对于表达式 g+fun(h-1)+fun(h-4)，我们不能保证评估顺序，尤其是在 C 语言中。
【讨论】：
好的。我们从 fun（强制评估顺序的序列化版本）开始。
int fun(int h){
if(h<=0){
g++;
return g;
}
int tmp1 = g;
int tmp2 = fun(h-1);
int tmp3 = fun(h-4);
return tmp1+tmp2+tmp3;
}
让我们关注g，忘记函数的当前结果
现在可以很容易地更改函数以将 g 作为参数传入并返回 g 的新值作为结果。
int gun(int h, int g0){
if(h<=0){
return g0+1;
}
int tmp1 = g0;
int tmp2 = gun(h-1, g0);
int tmp3 = gun(h-4, tmp2);
return tmp3;
}
What can be simplified into:
int gun(int h, int g0){
if(h<=0){
return g0+1;
}
return gun(h-4, gun(h-1, g0));
}
现在回到乐趣：
int fun2(int h, int g0){
if(h<=0){
return g0+1;
}
return g0+fun2(h-1, g0)+fun2(h-4, gun(h-1,g0));
}
fun2 做的事情和最初的 fun 完全一样，但是现在我们去掉了副作用并且函数只依赖于它的参数，我们可以记忆结果（将已经计算的结果存储在一个数组中），这应该会加速计算。
我们仍然可以稍微简化一下枪。 g0参数不是必须的，我们设置为0吧。
int gun2(int h){
if(h<=0){
return 1;
}
return gun2(h-4) + gun2(h-1);
}
我们甚至可以定义一个fun3，将g0参数固定为0，这样会更简单一些，但它仍然需要调用fun2。我还没有看到如何进一步简化，但它可能是可能的。
int fun3(int h){
if(h<=0){
return 1;
}
return fun3(h-1)+fun2(h-4, gun2(h-1));
}
【讨论】：
int tmp3 = gun(h-4, tmp2);有些困惑。为什么要为参数g 传入tmp2？此外，由于函数可能会更改g，不应该返回g 的当前值，即。该函数不应该返回一个（二）元组吗？
是的，可以使用 DP 来加速它并避免使用 CPU 堆栈，但我同意 stakx 关于更改全局静态变量 g 的副作用。 最好提供一个数学表达式，因为上面的递归函数可能会根据调用的顺序和次数给出不同的结果。
【讨论】：
虽然我无法回答您的实际问题，但我对完全不同的东西很感兴趣，即陈述
return g+fun(h-1)+fun(n-4);
显然，您的函数具有更改全局静态变量g 的副作用。我不能 100% 确定 return 语句的表达式实际上是否以明确定义的方式计算，或者结果是否可能未定义。
考虑这些函数调用的执行顺序以及这如何影响g 以及函数的结果可能是一个很好的练习。
【讨论】：