使用动态规划计算排列数答案

【问题标题】：Using dynamic programming to count the number of permutations使用动态规划计算排列数
【发布时间】：2014-01-05 11:30:08
【问题描述】：

我有一个长度为 N 的字符串 A。我必须找到长度为 N 且具有 M (M) 与字符串 A 相同的字符但满足的字符串数（B） A[i]!=B[i] 对于所有 i 的条件。假设必须相同的字符并且还给出不同的字符。查找此类字符串的数量的递归关系是什么？

示例

123是字符串A，M=1，相同的字符是'1'，新的字符是'4'和'5'。有效的排列是 451、415、514、541。所以它是给定 3 中 1 项的一种错乱。

我可以使用包含-排除原则找到答案，但想知道是否存在重复关系来做同样的事情？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

让我们称 g(M,N) 为满足您条件的排列数。

如果 M 为 0，则答案为 N！

否则，M>0 并考虑放置字符串 A 中的第一个字符。有M个重要位置对应于字符串中不允许放置某个字符的位置。

如果我们将第一个字符放在这些 (M-1) 个重要位置之一（由于限制，我们不能将它放在位置 1），那么我们必须替换其中一个受限字符，因此限制数量减少 2（我们放置的角色为 1，我们所占据位置的角色为 1）。

如果我们将第一个字符放在 N-M 个不重要的地方，那么我们只减少了 1 个限制。

因此递归关系为：

g(M,N)=(M-1)g(M-2,N-1)+(N-M)g(M-1,N-1) if M>0
      =N! if M=0

对于您的示例，我们希望计算 g(1,3)（1 个字符匹配，总共放置 3 个字符）

g(1,3)=(3-1)g(0,2)
      =(3-1).2!
      =4

【讨论】：