硬币找零的动态规划

Question

在硬币系统 C = {c1, c2, ... ck} 中应该改变给定的数量 x，使得每个硬币 ci 具有给定的重量 wi。我们想计算可能变化的总权重。如果两个零钱以不同的顺序包含相同的硬币，则它们是不同的。

我们如何为上述问题提供动态规划递归？我知道最小硬币找零问题的递归（即 C(x)=min{C(x-c)+1 for x>0}）。但我的困惑是可能的变化的总重量。谢谢。

Answer 1

看起来天真的方法“将答案存储在数组中”有效。令C[i]代表硬币价值，W[i]代表硬币重量，N是硬币数量。

递归部分如下所示：

long sum = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
    if (C[i] <= x)
        sum += W[i] + total_change_weight(x-C[i]);

没有输入、输出和 C/W 初始化的示例程序如下：

#define N   10
#define MAX_VALUE   101

long C[N];
long W[N];
long totals[MAX_VALUE];

long total_change_weight(long x) 
{
    if (x == 0) 
        return 0;
    if (totals[x] >= 0)
        return totals[x];

    long sum = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        if (C[i] <= x)
            sum += W[i] + total_change_weight(x-C[i]);
    totals[x] = sum;

    return sum;
}

void main () 
{
    long value = 100;
    //initialize C
    ...
    //initialize W
    ...
    //initialize totals
    for (long i = 0; i < MAX_VALUE; ++i)
        totals[i] = -1;
    long result = total_change_weight(value);
}