乐高积木 - 动态规划

Question

我正在尝试解决以下 DP 问题：

您有 4 种类型的乐高积木，尺寸分别为 1 * 1 * 1、1 * 1 * 2、1 * 1 * 3 和 1 * 1 * 4。假设您有无限数量的每种类型的块。

你想用这些块做一堵高 H 宽 M 的墙。 墙上不应该有任何洞。你建造的墙应该是 一个坚固的结构。坚固的结构意味着它不应该 可以沿任何垂直线分隔墙壁而无需切割 任何用于建造墙壁的乐高积木。方块只能放置 水平。墙可以用多少种方式建造？

这是我尝试的方式： 用 a b c d 表示 1 * 1 * 1、1 * 1 * 2、1 * 1 * 3 和 1 * 1 * 4 块 .有效模式以粗体表示。无效的模式是可以被垂直线打破的。

H=1 & W=3 #valid pattern=1
aa ab ba c

H=2 & W=3 #有效模式=9

我正在尝试查找重复模式以将其扩展高度或宽度。即找到 H=3 & W=3 或 H=2&W=4 的值。

关于如何通过身高或体重来计算增长的任何意见？
附：墙总是 H*W*1。

Answer 1

不难找到多个 1xW 的条纹（假设为 N(1,W)）。 然后你可以找到一些所有（包括非实心）HxW 墙 - 它是 A(H,W) = N(1,W)^H 任何非实体墙都由左 H*L 墙和右 H*(W-L) 墙组成。似乎实体墙的数量是

S(H,W) = A(H,W) - Sum(S(H, L) * A(H, W-L)) [L=1..W-1]

S(H, L) * A(H, W-L) 是在 L 垂直位置最左边的非实心墙的数量。第一个因素是实体墙的数量 - 消除重复变体的计数。

Answer 2

首先，让我们看看如果我们忽略保持连接的需要，我们可以建造多少 M*N 墙：

我们可以分别对待每一行，然后将计数相乘，因为它们是独立的。

平铺0*1 或1*1 墙只有一种方法，平铺n*1 的方法数是平铺{n-1}*1...@987654326 的方法总数@大小的墙，原因是这些墙可以通过移除n*1墙的最后一个瓷砖来获得。

这产生了一个四边形序列，OEIS A000078。 所有W*H墙的数量是a(w,h)=T(w)^h。

现在，数实墙的数量。 MBo 的回答已经包含了基本前提：

最左边没有连接墙的地方的分支。 All W*H 墙的数量是Solid X*H 墙的数量乘以All {W-X}*H 墙的数量，将X 的所有可能值加起来Solid W*H 墙：

A(W,H) = sum{X=1..{W-1}}(S(X,H)*A(W-X,H)) + S(W,H)

作为最后一步，我们将S(M,H) term 分开，这是我们要计算的值，并重复前面的公式：

S(W,H) = A(W,H) - sum_x( S(X,H)*A(W-X,H) ) //implicitly, S(1,H)=1

A(W,H) = T(W)^H

T(X)   = X > 0: T(X-1)+T(X-2)+T(X-3)+T(X-4)
         X = 0: 1
         X < 0: 0

（证明 MBo 的公式正确）。

这还提供了一个 O(W^2) 算法来计算 S（假设正确的记忆和恒定时间算术运算）