背包问题中的表格与动态规划之间有什么联系？

Question

对一个非常新手的问题表示歉意，因为我无法从各种资源中找到答案。

在背包算法中，我们构造一个表，例如在https://www.geeksforgeeks.org/0-1-knapsack-problem-dp-10/

我在 Kleinberg 的书中读到了背包问题。根据我的理解，动态编程是将问题分解为重叠的子问题 - 但是，我已经在各种书籍/在线资源中看到此表用于解决背包问题。我似乎无法理解这张表是如何与动态编程相关联的？我们是否在此表中记住任何内容？在我看来，这是一个巧妙的背包解决方案，但不是动态编程解决方案。我看过视频和文本，他们通过使用表格或使用动态编程解决方案来解决问题，但似乎没有人提供两者之间的联系。

Answer 1

它仍然是动态编程。唯一的区别是动态规划算法在n 中仍然不是多项式，而是在n 和W 中。对于这些类型的问题，您必须区分由于输入而自然产生的值和输入的部分值。

你的输入由n不同的项目组成和数字W; W 是显式的，而不是由输入的大小暗示的。因为我们使用了一些高效的编码（即二进制）来提供W，所以W 的大小在W 的编码中是指数。也就是说，输入包含表示W 的O(lg W) 位，但我们构建的表有W 行（或列，深入了解您如何查看它）。这使得算法的输入大小呈指数级增长。

但是，如果我们放宽我们通常的规则，即输入必须有效地表示，我们可以使用“一元”表示法指定W； W 输入中的 1s 而不是二进制表示。现在您可以声称，因为输入大小在n 和W 中是多项式，而不是像以前那样在n 和lg W 中，所以DP 表在输入中也是多项式。

这大致是强和弱NP-hard的区别：如果问题是弱NP-hard，那么如果我们指定一些数值的一元编码，就可以找到多项式时间算法（通常基于动态规划）参数而不是通常的二进制编码。