二维矩阵中最长的递增子序列。

Question

我正在解决一个编程挑战，以找到 2D NxN 矩阵中最长递增子序列的长度。序列的每个元素中的行和列都必须增加（不需要是连续的）。我用动态编程方法解决了它，但它是 O(N^4) 且效率低下。但是，在 O(N^3) 中有很多解决方案。一种这样的解决方案是：

   scanf("%d", &N);
    for(i = 1; i <= N; i++) {
        for(j = 1; j <= N; j++) {
            scanf("%d", &L[i][j]);
        }
    }
    Answer = 0; 

    memset(maxLength,0,sizeof(maxLength));
    for (i=1;i<=N;i++) 
    {
        maxLength[1][i] = 1;
        maxLength[i][1] = 1;
    }

    //
    for (i=2;i<=N;i++)
    {

        memset(minValue,0,sizeof(minValue));
        curLen = 1;
        minValue[1] = L[i-1][1]; 

        for (j=2;j<=N;j++)  
        {
            for (p=1;p<i;p++)
            {
                tmpLen = maxLength[p][j-1];
                if (minValue[tmpLen] == 0)
                {
                    minValue[tmpLen] = L[p][j-1]; 
                    curLen = tmpLen;
                }
                else if (minValue[tmpLen]>L[p][j-1])
                {
                    minValue[tmpLen] = L[p][j-1];
                }
            }


            max = 1;
            for (p=curLen;p>0;p--)
            {
                if (L[i][j]>=minValue[p])
                {
                    max = p+1;
                    break;
                }
            }

            maxLength[i][j] = max;
            Answer = Answer>max?Answer:max;
        }
    }

    // Print the answer to standard output(screen).
    printf("%d\n", Answer);

有人可以解释它是如何工作的或任何其他 O(N^3) 方法吗？我根本听不懂:(。

Answer 1

在O(n³) 时间内解决这个问题并不难。但是，我没有阅读源代码，所以我不知道以下是否是它所做的，但这里有一个关于如何完成的想法。

诀窍在于更新过程。我猜你最初做的是以下内容。

假设您正在考虑橙色矩形中的一个元素。上一步必须源自蓝色矩形（您已经解决了）。这会产生一个正确的答案，但很容易看出它会产生 Θ(n⁴) 结果，因为您可以同时制作橙色和蓝色矩形 Θ(n²)，你需要考虑它们之间的所有对。 （这很容易形式化。）

相反，首先解决第一行和第一列。实际上，在每次迭代中，取下一个未解决的行和列，并从之前解决的部分中解决它们。

这是诀窍（我将留给你）。如果您在单元格中存储了足够的信息（或在辅助数据结构中，没关系），那么对于您正在考虑的橙色列中的每个元素，您只需要查看它左侧的列（同上对于橙色行 - 您只需查看其上方行中的元素）。

因此存在 O(n) 次外部迭代（在每个迭代中，您都考虑一行和一列）。每个这样的行/列都有 O(n) 个元素，每个左/上行/列有两个 O(n) 个元素。乘法给出了您的目标复杂度。