最大和/面积子矩阵答案

【问题标题】：Maximum sum/area submatrix最大和/面积子矩阵
【发布时间】：2012-10-17 02:14:09
【问题描述】：

输入：nxn 正数/负数和 k 矩阵。

输出：具有最大元素总和的子矩阵除以其具有至少 k 个元素的元素数。

对于这个问题，有没有比 O(n^4) 更好的算法？

【问题讨论】：

stackoverflow.com/questions/2643908/… 阅读本文
@Mateusz 这是最大金额。
这个问题有一个简单的答案：只要找到矩阵的最大元素。一个 1x1 的子矩阵，包含这个元素是最大和/面积子矩阵。
@EvgenyKluev 你是对的。如果我们寻找具有超过 k 个元素的矩阵会怎样。
对于超过 k 个元素，您可以尝试所有列的子集并解决此问题的一维版本，如 this question 中所述。

标签： algorithm matrix

【解决方案1】：

一种基于 FFT 的分治法来解决这个问题：

https://github.com/thearn/maximum-submatrix-sum

它的效率不如 Kadane 的 (O(N^3) vs. O(N^3 log N))，但在解决方案构建方面确实给出了不同的看法。

【讨论】：

这令人印象深刻。

【解决方案2】：

有一个 O(n^3) 2-d kadane 算法用于在 nxn 矩阵中找到最大和子矩阵（即子矩形）。（您可以在 SO 上找到有关它的帖子，或在线阅读）。一旦您了解了算法的工作原理，很明显，如果您可以解决在 1-d 数组中找到长度至少为 m 的最大平均子区间的问题，您可以获得 O(n^3) 时间解决方案在 O(n) 时间内的 n 个数字。这确实是可能的，见论文cs.slu.edu/~goldwasser/publications/DensityPreprint.pdf

因此，您的问题有一个 O(n^3) 时间解决方案。

【讨论】：