合并排序数组，最佳时间复杂度是多少？

Question

我有 m 个数组，每个数组的长度为 n。每个数组都是排序的。我想创建一个长度为 m*n 的数组，其中包含先前数组的所有值（包括重复值），并已排序。我必须合并这些数组..

我认为最佳时间复杂度是 m*n*log(m)

这是算法的草图..

我创建了一个长度为 m 的支持数组 H，其中包含每个数组第一个元素的所有值。

然后我对这个数组进行排序（m log m），并将最小值移动到输出数组。

然后我用下一个值替换移动的值，从它获取的数组中。实际上我没有替换它，但我将它插入到正确的（排序的）位置。我认为这需要 log m。

我对所有 m*n 值重复此操作...因此 m*n*log m

我的问题..你能想到一个更有效的算法吗？如果 mnlogm 实际上是最优的，你至少能想到一个更简单、更优雅的算法吗？

Answer 1

复杂性是对的！但是，您的算法思想有一个小缺陷：您不能在log m 的排序数组中插入项目。您可以在这种复杂性中使用二分搜索找到它的位置，但您可能必须四处移动元素才能将其实际放置在那里。要解决此问题，您可以改用堆数据结构！

多路合并（这是算法的通用名称）通常使用另一种“合并”数据结构实现：锦标赛树。您可以在 Knuth 的“计算机编程艺术”（关于排序的章节，iirc）中找到描述。在这种特定情况下，与堆相比，它在理论上和实践中具有较低的常数因子。

如果您想查看实现，我很确定 GNU C++ 标准库并行扩展中的并行多路合并是通过这种方式实现的。

编辑：我引用了错误的书，现在已修复。

Answer 2

你能做的最好是 O(m*n + d)。类似于计数排序：http://en.wikipedia.org/wiki/Counting_sort 如果您知道可能的值范围（例如，d），您可以初始化一个长度为 d 的数组，然后扫描 m 个数组中的每一个，为每个 d 中的每个“bin”添加 1对应于该 bin 的值。然后在新的长度为 m*n 的数组中，为 d 中的每个值添加 bin 的计数。