在 3D 游戏数学的上下文中，3D 向量与 3D 点元组 (x,y,z) 有什么不同？
如果它们不同，那么如何计算给定 3d 点的向量？
【问题讨论】：
不同之处在于向量是一个代数对象，它可能会或可能不会作为某个空间中的坐标集给出。 （感谢 bungalobill 纠正我的马虎）。
点只是由坐标给出的点。一般来说，可以将两者混为一谈。如果给你一组坐标，并告诉你它们构成了一个没有进一步信息（基础选择等）的“点”，那么你可以把那组数字交还给你，并合法地声称已经产生了一个向量。
两者之间最大的区别在于，对一个做你可以对另一个做的事情是没有意义的。例如，
您可以将向量乘以（或缩放）一个数字（通常称为标量） 2 * =
你可以问两点相距多远：d((1, 2, 3), (3, 2, 1) = sqrt((1 - 3)2 + (2 - 2)2 + (3 - 1)2) = sqrt(8) ~= 2.82
考虑向量和点之间关联的一种很好的直观方法是，向量告诉您如何从原点（我们为其分配坐标 (0, 0, 0) 的空间中的一个点）获取到它的关联点。
如果你平移你的坐标系，那么你会得到一个新的向量来表示同一个点。尽管构成该点的坐标将进行相同的平移，因此很容易在两者之间进行合并。
同样，如果旋转坐标系或应用其他一些变换（例如剪切），那么与该点关联的坐标和矢量也会发生变化。
向量也可能完全是其他东西，例如区间 [0, 1] 上的有界函数是向量，因为您可以将它乘以实数并将其添加到区间上的另一个函数中，并且它将满足某些要求（即向量空间的公理）。在这种情况下，可以考虑在 [0, 1] 中为每个实数 x 设置一个坐标，其中该坐标的值就是 f(x)。这就是无限维向量空间的最简单示例。
有各种各样的向量空间，向量是“点和方向”（或任何它应该是）的概念实际上是非常空洞的。
【讨论】：
向量表示从一种状态到另一种状态的变化。要创建一个，您需要两个状态（在本例中为点），然后从最终状态中减去初始状态以获得合成向量。
【讨论】：
向量是比 3D 空间中的点更通用的概念。
向量可以有 2、3 或 n 维。除了位置之外，它们还代表物理世界中的许多量（例如速度、力、加速度）。
数学家会说向量是一阶张量，根据这个规则进行变换：
u(i) = A(i, j)v(j)
你需要点和向量，因为它们是不同的。 3D空间中表示位置的点是一个向量，但每个向量都不是3D空间中的一个点。
然后是作为容器的向量的计算机科学概念——它是一组值或引用的抽象。这与数学家的向量概念是不同的概念，因为每个向量容器都不需要遵守一阶张量变换定律（例如 OrderItems 的向量）。那是另一个不同的想法。
在谈论向量和点时，记住所有这些很重要。
【讨论】：
在 3D 游戏数学的上下文中，3D 向量与 3D 点元组 (x,y,z) 有什么不同？
传统上，矢量意味着方向和速度。一个点可以被认为是一个时间步长的世界起点的向量。 （即使它在数学上可能不被认为是纯粹的）
如果它们不同，那么如何计算给定 3d 点的向量？
target-tower 是常用的助记词。
谨慎使用它。结果向量实际上是正常的*速度。如果您想将其更改为对游戏应用程序有用的东西：您需要首先对向量进行归一化。
示例：Joe 在 (10,0,0)，他想去 (10,10,0)
目标塔：(10,10,0)-(10,0,0)=(0,10,0)
归一化结果向量：(0,1,0)
应用“物理”：(0,1,0) * speed*elapsed_time
=(0,6,0)
将结果向量添加到 Joes 空间中的当前点以获得他在空间中的下一个点：... =(10,6,0)
法线 = 向量/(sqrt(x*x+y*y+z*z))
...我想我在这里拥有一切
【讨论】：
向量是状态的变化。一个点是静态点。两个向量可以平行或垂直。您可以有两个向量的乘积，即第三个向量。您可以将向量乘以常数。您可以添加两个向量。
所有这些操作都是不允许的。因此，如果您将两者都视为 C++ 类，那么在编程方面，vector 类中会有很多这样的方法，但可能只有 Get 和 Set。
【讨论】：
在游戏数学方面没有区别。
点是仿射空间的元素。†向量是向量（又名线性）空间的元素。当您在仿射空间中选择原点时，它会自动在该仿射空间上诱导出线性结构。反之亦然：如果你有一个向量空间，它已经满足仿射空间的所有公理。
事实是，在计算方面，用数字表示仿射空间的唯一方法是使用数字元组，它们也形成向量空间。
游戏中的每个对象总是有一个起源，知道它在哪里是至关重要的。该原点是相对于世界原点设置的，世界原点是相对于相机/视口的原点设置的。对象的顶点表示为向量——与对象原点的偏移量。您使用矩阵乘法来转换对象——这也是一个纯粹的向量空间操作（如果不先指定原点，就不能将仿射点乘以矩阵）。等等，等等……正如我们看到的，所有那些我们可能认为是“点”的三元组数字实际上都是局部坐标系中的向量。
那么在代数研究之外有什么理由区分这两者吗？这是一种不必要的抽象，不必要的抽象是有害的（KISS）。所以我的回答是不，只用一个向量类型。
† 或游戏开发环境之外的任何拓扑空间。
【讨论】：
向量是一条线，它是一系列点，但它可以用两个点来表示，起点和终点。
如果你以原点为起点，那么你可以描述你的向量只给出终点。
【讨论】：