n 维凸多面体的 n 体积答案

【问题标题】：n-volume of a n-dimensional convex polyhedronn 维凸多面体的 n 体积
【发布时间】：2019-12-03 17:53:48
【问题描述】：

我希望找到 n 维凸多面体的 n 体积（2D 多面体的面积，3D 多面体的体积等）。是否有可以用python（甚至python包）编写的“通用”公式（或算法）？

编辑 - 1：为了回答 norok2 的评论，多面体被定义为一组有序的顶点。

【问题讨论】：

你的多面体是如何定义的？
多面体被定义为一组有序的顶点。
这样做的一种方法是找到（dis）方程形式的定界超平面，然后生成包含多面体的超立方体的随机样本，并将每个样本分类为多面体内部或外部，in/ out ratio乘以超立方体体积将为您提供一个很好的体积近似值。
快速搜索monte carlo volume computation给出，例如sciencedirect.com/science/article/pii/S1877050911002092
审查确切方法：citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/…

【解决方案1】：

使用 Python 包 polytope，可以按如下方式计算多面体的体积：

"""How to compute a polytope's volume."""
import numpy as np
import polytope

# constructing a convex polytope and computing its volume
vertices = np.array([[0.0, 0.0], [1.0, 0.0], [0.0, 1.0]])
hull = polytope.qhull(vertices)
    # `hull` is an instance of the class `polytope.polytope.Polytope`
    # which is for representing a convex polytope
print(hull.volume)

# constructing a nonconvex polytope and computing its volume
vertices_1 = np.array([[0.0, 0.0], [0.0, 1.0], [2.0, 1.0]])
vertices_2 = np.array([[0.0, 1.0], [1.0, 1.0], [1.0, 2.0], [0.0, 2.0]])
hull_1 = polytope.qhull(vertices_1)  # convex hull of vertices in `vertices_1`
hull_2 = polytope.qhull(vertices_2)  # convex hull of vertices in `vertices_2`
nonconvex = hull_1.union(hull_2)  # construct union of convex polytopes
    # `nonconvex` is an instance of the class `polytope.polytope.Region`
    # which is for representing any polytope, including nonconvex ones,
    # and in this case can also be constructed with
    # `polytope.polytope.Region([hull_1, hull_2])`
print(nonconvex.volume)

包polytope 使用随机算法计算体积，在函数polytope.polytope.volume 中实现。上面的代码还使用了类numpy.ndarray、polytope.polytope.Polytope、polytope.polytope.Region，以及函数numpy.array、polytope.polytope.qhull和（间接）polytope.polytope.union。

以上 Python 代码使用 polytope 0.2.3 版。

可以使用pip从PyPI安装包polytope：

pip install polytope

【讨论】：