找到一条线接触凸包的第一个点答案

【问题标题】：Find the first point where a line touches a convex hull找到一条线接触凸包的第一个点
【发布时间】：2021-08-22 07:10:47
【问题描述】：

首先，我使用convexHull Matlab 函数为给定点绘制了一个凸包：

x = [4*rand(10,1)-2];
y = [rand(10,1)+5];
DT = delaunayTriangulation(x,y);
C = convexHull(DT);
plot(DT.Points(:,1),DT.Points(:,2),'.','MarkerSize',10)
hold on
plot(DT.Points(C,1),DT.Points(C,2),'r')

这个凸包只是一个例子，它可以是任何其他的凸包。我们假设凸包在抛物线y=x^2内。

然后我想在凸包上找到接触线y=[(a^2+1)/a]x-1 的第一个点，当我们从a=1 开始时，如果从未接触过凸包（当凸包在LHS 上时），它可以一直到a=+\infty。

如何实现？我的最终目标是在图中找到a。

【问题讨论】：

标签： matlab line convex-hull

【解决方案1】：

对于多边形的每个角(x_i, y_i) 求解a_i 的二次方程。

y_i*a_i = (a_i^2 + 1)*x_i - 1

将点坐标代入线方程即可得到方程。接下来，丢弃与您无关的解决方案 (a<1)。完成后，按a 对解决方案进行排序。如果您还需要相应顶点的索引，Matlab 中的sort 函数为您提供索引数组作为附加输出。然后你就可以画线了。

作为极端情况，线可能会碰到两个顶点。如果您只需要a，这不是问题。如果你想要顶点 id，随意丢弃一个，或者使用一些额外的规则。

【讨论】：