如何以最佳方式置换两个多边形？

Question

给定两个凸多边形（可能重叠也可能不重叠），它们应该以“最紧密的方式”布局（使它们不重叠 - 参见 cmets）。 （即它们应该占用尽可能少的屏幕空间。）正式地，让我们将“最紧密的可能方式”定义为边界框具有最小面积的方式（但我也对其他合理的定义持开放态度:) ）。 （注意：这里的一切都是 2D 的。）一个好处是甚至考虑边界框的边的比例（例如，它应该是 16:9），但我怀疑问得太多了:)。

是否有比蛮力更好的算法来做到这一点？ （蛮力就像将它们布置在“所有可能的”方向并计算边界框的面积。）我一直在寻找解决方案，但我还没有找到；虽然这对我来说不是一个非常独特的问题......

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这就是我现在所做的（仅接近上述要求）：我将一个多边形固定 (p1) 并计算其中心点 (c1)。然后我在p1 的抑扬符上找到最接近c1 的点（我们称之为x）。 （注意：(c1, x) 向量将定义p2 的移动方向。）然后我们将分离轴定义为与(c1,x) 在x 处垂直的线。 （这两个多边形最后会在x 接触。）然后我计算 y，它是p2(!) 在(x,c1) 方向上离分离轴最远的点（矢量反转！）；让我们称它的距离为d。然后我将p2 向(c1,x) 的方向移动d。

它确保p2 尽可能靠近p1 的中心 - 不幸的是，仅限于p1。但它没有考虑p2 的形状，因此可能通过选择不同的位移方向将它们放置得“更紧”。

Answer 1

由于您没有指定收容条件，

如果一个小于另一个，则将其放入较大的多边形内。那是最紧身的:)

否则对齐中心，并旋转其中一个直到凸包/ BB 最小。

编辑

好的，我稍后会阅读有关非重叠的 cmets .. :)

因此，取一个多边形，并将其所有边与所有其他多边形边重叠，面积最小的方向获胜。这绝对是 O( 2 * N1 * N2 ) // 2 张幻灯片来匹配每个重叠的顶点。

边的重叠使得多边形的中心仅朝向共享边的相对边。由于它们都是凸多边形，因此如果其中一个边重叠，它们不会相交，因此不会重叠。

Answer 2

有趣的问题我会这样处理：

1. 将多边形转换为安全距离

   • 计算边界框
   • 平移一个多边形，使边界框almost 接触且不重叠
   • 让ax0,ax1,ay0,ay1 成为一个多边形（顶部）的边界框
   • 和bx0,bx1,by0,by1 是另一个（底部）的边界框
   • 让 ay0<=ay1 , by0<=by1 , up 表示 y 轴 + 方向
   • 所以dy = by1 - ay0 + d
   • 其中dy 是第一个（红色）多边形的平移（只需将其添加到所有 y 坐标）
   • 和d是你想要的他们之间的安全间隙

2. 找出多边形的下半部分和上半部分

   • 喜欢这张图片：
   • 按 CW 对顶点进行排序
   • 然后计算每个顶点的dx=x(i)-x(i-1)
   • 如果dx > 0是上半部分，否则是下半部分

3. 现在尝试将红色多边形向下移动

   • 您必须只检查顶部多边形的底部
   • 底部多边形的顶部
   • 这应该会加快速度
   • 移动步长应该是min(d,ay1-ay0,by1-by0)的一小部分
   • 现在只需将顶部多边形逐步向下移动
   • 如果相邻两半之间没有相交，则重复上一步
   • 否则将顶部多边形向上移动安全间隙 > 步骤，这就是解决方案

[备注]

• 您应该处理边界框不重叠（并排）等边缘情况
• 将线的接触处理为交点
• 您可以尝试两种变体（第一个是哪个多边形，第二个是哪个多边形）并选择更好的解决方案
• 在展位上下半部分设置顶点dx==0 可能更安全