多边形的对角线在里面还是外面？答案

【问题标题】：Diagonal of polygon is inside or outside?多边形的对角线在里面还是外面？
【发布时间】：2011-02-18 11:35:25
【问题描述】：

我有三个连续的多边形点，比如 p1、p2、p3。现在我想知道 p1 和 p3 之间的正交是在多边形内部还是在多边形外部。

我通过采用三个向量 v1、v2 和 v3 来做到这一点。而多边形中点p1之前的点说p0。
v1 = (p0 - p1) v2 = (p2 - p1) v3 = (p3 - p1)

关于this问题，我使用的是该问题的已接受答案中显示的方法。它仅适用于逆时针。如果我的点是顺时针的怎么办。

我也知道我的整个多边形是顺时针还是逆时针。因此，我选择了向量 v1 和 v2。但我仍然遇到一些问题。我正在展示一个我遇到问题的案例。

这个多边形是逆时针的。并且是从v1和v2的起源开始的。

【问题讨论】：

您对积分的选择非常混乱。它们不是围绕多边形按顺序排列的，v1 的公式与 v2 和 v3 不匹配。我指出这些并不是为了抱怨；这可能是您的问题所在。
“p1 和 p3 之间的正交”是什么意思？您是指 p1 和 p3 的对角线（如图所示）？
我的意思是 p1 和 p3 之间的线段。这些不是我选择的要点。经过一些处理，我得到了它们。并且 v1、v2 和 v3 正确显示。
@Michael 是的，我的意思是 p1 和 p3 的对角线

标签： algorithm math polygon

【解决方案1】：

由于您的点是连续的，您可以通过检查三角形 p1 p2 p3 的方向来解决这个问题。如果方向与多边形的方向相同，则对角线在内部，否则在外部。

要确定三角形的方向，最简单的方法是计算符号面积并检查符号。计算

p1.x * p2.y + p2.x * p3.y + p3.x * p1.y - p2.x * p1.y - p3.x * p2.y - p1.x * p3.y

如果该值的符号为正，则方向为逆时针方向。如果符号为负，则方向为顺时针。

确切地说，上述方法只为您提供对角线位于多边形哪一侧的信息。显然，多边形仍然可以在后面的点与对角线相交。

【讨论】：

cgafaq.info/wiki/Polygon_Area 显示的方程式与您的方程式不同。
其实公式基本一样。我上面给出的版本是三点并忽略常量的版本（因为我们只对符号感兴趣）。
我没有使用您显示的确切方法。但是我从这个答案中得到了提示。谢谢。

【解决方案2】：

基本上，对角线可以完全在内部、完全在外部、内部和外部，并且在所有三种情况下都可能重叠一条或多条边。这使得确定您需要什么变得不那么容易了。

从数学的角度来看，里面和外面其实并没有太大的区别，除了外面有无限面积这样的小细节。（至少对于 2D 平面；在球体上，多边形的内部和外部没有明显区别。）

您还有一个关于多边形边缘排序的子问题。最简单的方法是按顺序对相邻边之间的所有角度求和。这将加起来为 N*(pi/2)。对于逆时针多边形，N 为正数。

[编辑] 一旦你知道了方向，如果你没有上面列出的困难案例，问题就很简单了。角度 p0-p1-p2 小于角度 p0-p1-p3。因此，边 p1-p3 至少部分位于多边形之外。如果它没有越过其他边，它显然完全位于多边形之外。

【讨论】：

是的，这是我的问题，里面和外面没有太大区别。我想访问内部部分，但在某些情况下它给了我错误的结果。请帮我。解决了边缘排序问题。谢谢。
ohhhhhhhh 但我遇到了上面显示的困难案例。这是一个小例子。我可以得到更难的情况..
要解决更困难的情况，请确定您的“对角线”p1-p3 是否跨越任何边缘。检测线段交叉的算法很容易找到，例如local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/lineline2d.
是的，我已经做到了，但唯一的问题是对角线完全在多边形之外。

【解决方案3】：

任意两个向量之间的夹角为

alpha = acos(v1.x * v2.x + v1.y * v2.y)

因为你现在可以拥有之间的角度

v1 and v3 = alpha1; v1 and v2 = alpha2;

您可以检查 alpha2 是否在 alpha1 内：

function normalize(a):
    if a > 2 * pi then a - 2 * pi
    else if a < 2 * pi then a + 2 * pi
    else a

alpha1 = normalize(alpha1)
alpha2 = normalize(alpha2)

if (alpha2 < alpha1) then is_between
else is_not_between

这不是很完整，但你应该明白了。

编辑：如果多边形如 MSalters 所指出的那样重叠，它将不起作用。

【讨论】：