按顺时针/逆时针顺序对一组 3-D 点进行排序

Question

在 3-D 空间中，我有一个无序的集合，比如 6 个点；像这样：

           (A)*
                          (C)*
(E)*
                         (F)*
     (B)*

                  (D)*

这些点形成一个 3-D 轮廓，但它们是无序的。对于无序，我的意思是它们存储在

unorderedList = [A - B - C - D - E - F]

我只想从任意位置（假设 A 点）开始重新组织此列表，并顺时针或逆时针遍历这些点。像这样的：

orderedList = [A - E - B - D - F - C]

或

orderedList = [A - C - F - D - B - E]

我正在尝试实现一个尽可能简单的算法，因为提到的点集对应于大约 420000 个点的网格上每个顶点的 N 环邻域，我必须为每个点执行此操作在网格上。

前段时间有一个关于 2-D 点的 similar discussion，但现在我不清楚如何从这种方法转到我的 3-D 场景。

Answer 1

“顺时针”或“逆时针”的概念在没有轴和方向的情况下是不明确的！ （证明：例如，如果您从显示器屏幕的另一侧查看这些点或翻转它们会怎样！）

您必须定义轴和方向，并将其指定为附加输入。指定方式包括：

• 一行 (1x=2y=3z)，使用右手法则
• 一个（单位）向量(A_x, A_y, A_z)，使用右手定则；这是这样做的首选方式

为了确定方向，您必须更深入地研究您的问题：您必须定义网格的“向上”和“向下”大小。然后对于每组点，您必须取质心（或另一个“内部”点）并构造一个指向“向上”的单位向量，该向量垂直于表面。 （一种方法是找到最小二乘拟合平面，然后找到通过该点的两个垂直向量，在“向上”方向选择一个。）

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您需要使用上述任何建议来确定您的坐标轴。这将允许您将问题重新表述如下：

输入：

• 点集 {P_i}
• 一个轴，我们将其称为“z 轴”，并将其视为以点的质心（或“内部”某处）为中心的单位向量
• 通过上述方法之一选择的方向（例如逆时针）

设置：

• 对于所有点，选择两个相互正交的单位向量到轴，我们称之为“y 轴”和“x 轴”。 （只需将 z 轴单位矢量在两个方向旋转 90 度，http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix#Basic_rotations）

算法：

• 对于每个点 P，将 P 投影到 x 轴和 y 轴上（使用点积），然后使用 http://en.wikipedia.org/wiki/Atan2

一旦你有了角度，你就可以对它们进行排序。

Answer 2

我无法证明这段代码的效率，但它可以工作，你可以根据需要优化它的一部分，我只是不擅长。
代码在 C# 中，使用系统集合类和 linq。
Vector3 是一个具有浮点 x、y、z 和静态向量数学函数的类。
Node 是一个带有 Vector3 变量的类，名为 pos

//Sort nodes with positions in 3d space.
//Assuming the points form a convex shape.
//Assuming points are on a single plain (or close to it).

public List<Node> sortVerticies( Vector3 normal, List<Node> nodes ) {

    Vector3 first = nodes[0].pos;

    //Sort by distance from random point to get 2 adjacent points.
    List<Node> temp = nodes.OrderBy(n => Vector3.Distance(n.pos, first ) ).ToList();

    //Create a vector from the 2 adjacent points,
    //this will be used to sort all points, except the first, by the angle to this vector.
    //Since the shape is convex, angle will not exceed 180 degrees, resulting in a proper sort.
    Vector3 refrenceVec = (temp[1].pos - first);

    //Sort by angle to reference, but we are still missing the first one.
    List<Node> results = temp.Skip(1).OrderBy(n => Vector3.Angle(refrenceVec,n.pos - first)).ToList();

    //insert the first one, at index 0.
    results.Insert(0,nodes[0]);

    //Now that it is sorted, we check if we got the direction right, if we didn't we reverse the list.
    //We compare the given normal and the cross product of the first 3 point.
    //If the magnitude of the sum of the normal and cross product is less than Sqrt(2) then then there is more than 90 between them.
    if ( (Vector3.Cross( results[1].pos-results[0].pos, results[2].pos - results[0].pos ).normalized + normal.normalized).magnitude < 1.414f ) {
        results.Reverse();
    }

    return results;
}