如何仅使用移位/加/减除以 9？答案

【问题标题】：How to divide by 9 using just shifts/add/sub?如何仅使用移位/加/减除以 9？
【发布时间】：2016-07-07 11:21:54
【问题描述】：

上周我在面试，有一个这样的测试：

计算N/9（假设N 是一个正整数），仅使用 左移、右移、加、减指令。

【问题讨论】：

N 可以否定吗？如果是这样，右移是算术移位还是逻辑移位？
Divide by 10 using bit shifts?, Divide a number by 3 without using *, /, +, -, % operators, How can I multiply and divide using only bit shifting and adding?, Implement division with bit-wise operator
除以9，multiply by 954437177
@templatetypedef：您删除的答案几乎是正确的，但是该模式每 6 位重复一次，而不是每 4 位重复一次。使用L=(1/16+1/32+1/64)，您可以从L + L/2^6 + L/2^12 + L/2^18 + L/2^24 + L/2^30 == ~0.11111111110949423164 获得非常接近1/9 的近似值。我刚刚进行了编辑以修复它，所以你应该取消删除它。我正在摸索两个分数的幂的总和，可能会在某个时候得到你的答案，但我不想输入它，因为你已经这样做了。
@PeterCordes 不幸的是，代码实际上不起作用，因为所有的部门都向下舍入。例如，如果您尝试像 9 / 9 这样的值，您会得到 0 而不是预期的 1。

标签： algorithm assembly cpu-architecture integer-arithmetic

【解决方案1】：

首先，找到1/9的二进制表示 0,0001110001110001
表示它是 (1/16) + (1/32) + (1/64) + (1/1024) + (1/2048) + (1/4096) + (1/65536)
所以 (x/9) 等于 (x>>4) + (x>>5) + (x>>6) + (x>>10) + (x>>11 )+ (x>>12)+ (x>>16)

可能的优化（如果允许循环）：
如果您在 0001110001110001b 上循环，则在每个循环中将其右移，
每当在此班次设置进位时，将“x”添加到结果寄存器并在之后每次都正确地改变你的结果，你的结果是 x/9

        mov cx, 16     ; assuming 16 bit registers
        mov bx, 7281   ; bit mask of 2^16 * (1/9)
        mov ax, 8166   ; sample value, (1/9 of it is 907)
        mov dx, 0      ; dx holds the result

    div9:
        inc ax         ; or "add ax,1" if inc's not allowed :) 
                       ; workaround for the fact that 7/64 
                       ; are a bit less than 1/9
        shr bx,1
        jnc no_add
        add dx,ax
    no_add:
        shr dx,1
        dec cx
        jnz div9

（目前无法测试，可能是错的）

【讨论】：

您正在使用@Tracy 尚未批准的循环和条件跳转。在当前的 OP 状态下，它们不会被使用。
查看我对关于 templatetypedef 已删除答案的问题的评论，以及他/她的回复：(1/16) + (1/32) + ... 中的缺陷是整数除法总是向下舍入。
@PeterCordes 除以 9 时，在除法之前的除数 n 上加 5 将“四舍五入”（好吧，它是 0.5555 而不是 0.5）... (1/16 + 1/32 + 1/64 + ...) 方法似乎只在 n 上是错误的，其中 n 是 9 的倍数，因此将 1 加到 n 应该有效（即在除法之前）

【解决方案2】：

您可以使用定点数学技巧。

所以您只需按比例放大，以便有效小数部分进入整数范围，进行您需要的小数数学运算并按比例缩小。
```
a/9 = ((a*10000)/9)/10000
```
如您所见，我按10000 缩放。现在10000/9=1111 的整数部分已经足够大了，我可以写：
```
a/9 = ~a*1111/10000
```
2 次方

如果您使用 2 的幂，那么您只需要使用位移而不是除法。您需要在精度和输入值范围之间进行折衷。我凭经验发现，在32 bit 算术上，最好的比例是1<<18 所以：
```
(((a+1)<<18)/9)>>18 = ~a/9;
```
(a+1) 将舍入误差纠正回正确的范围。

硬编码乘法

将乘法常数改写为二进制

q = (1<<18)/9 = 29127 = 0111 0001 1100 0111 bin

现在，如果您需要计算c=(a*q)，请使用硬编码二进制乘法：对于q 中的每个1，您可以将a<<(position_of_1) 添加到c。如果您看到类似 111 的内容，您可以将其重写为 1000-1，从而最大限度地减少操作次数。

如果你把所有这些放在一起，你应该得到类似于我的这个 C++ 代码：

DWORD div9(DWORD a)
    {
    // ((a+1)*q)>>18 = (((a+1)<<18)/9)>>18 = ~a/9;
    // q = (1<<18)/9 = 29127 = 0111 0001 1100 0111 bin
    // valid for a = < 0 , 147455 >
    DWORD c;
    c =(a<< 3)-(a    ); // c= a*29127
    c+=(a<< 9)-(a<< 6);
    c+=(a<<15)-(a<<12);
    c+=29127;           // c= (a+1)*29127
    c>>=18;             // c= ((a+1)*29127)>>18
    return c;
    }

现在，如果您看到模式 111000 重复的二进制形式，您可以进一步改进代码：

DWORD div9(DWORD a)
    {
    DWORD c;
    c =(a<<3)-a;        // first pattern
    c+=(c<<6)+(c<<12);  // and the other 2...
    c+=29127;           
    c>>=18;             
    return c;
    }

【讨论】：