DI序列的排列排序

Question

我想通过长度给定的排列子集进行排名和取消排名。子集定义如下：

排列长度为 4 的示例：

我们的输入位串长度为 3（总是排列长度 - 1）

010

0 表示两个连续的元素是Increasing。

1 表示 2 个连续的元素是 Decreasing。

对于此位串，存在具有以下排列的子集：1324,1423,2314,2413,3412

我想要排名和取消排名的位串定义的排列子集？给定的位串是否有一种算法方法可以做到这一点？

Answer 1

让我重申我认为你的意思的问题。

您有一个长度为n-1 的位串。如果它的数字是增加/减少的模式，则描述了一组适合该模式的排列。该集合可以按升序排列。

你希望能够解决两个问题。

1. 给定一个适合模式的排列，说出它在该顺序中的位置（即“排列”它）
2. 给定一个数字，产生在该位置的排列顺序（即“取消排序”它）

理想情况下，您希望能够解决这些问题，而不必生成所有符合模式的排列。

两者的关键在于以下功能：

def count_matching (bitstring, start):
    ''' Returns how many permutations of 1..(len(bitstring) + 1)
    ''' match bitstring with starting value start
    # some implementation here.

这可以很容易地递归计算。然而，以天真的方式这样做会产生所有排列。但是，如果我们给memoize 添加一个缓存层，那么我们会存储多项式数量的数据并进行多项式调用来填充它。

这是为您的示例缓存后获得的数据：

{
    ('010', 1): 2,
    ('010', 2): 2,
    ('010', 3): 1,
    ('010', 4): 0,
    ('10', 1): 0,
    ('10', 2): 1,
    ('10', 3): 1,
    ('0', 1): 1,
    ('0', 2): 0,
    ('', 1): 1
}

现在这似乎是针对少数模式的大量数据。但是对于长度为n 的排列，条目的数量会像O(n^2) 一样增长，并且填充它的调用数量会像O(n^3) 一样增长。 （任何眼尖的读者都可能想出如何及时填充它O(n^2)。我将使用简单版本。）

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有了这个，我们可以根据以下想法进行排名并确定它必须是哪种排列。

假设我们想要找到秩为 4 的排列。我们的起始号码列表是(1 2 3 4)。我们可以跳过以('010', 1) 开头的0 个排列，答案将是('010', 2) 的2 个排列中的第二个。

取第二个数字2，我们的部分排列是[2，我们有数字(1 3 4)。我们正在寻找位串'10' 的第二个。我们跳过以('10', 1) 开头的0 个排列，以('10', 2) 开头的1，并希望以('10', 3) 开头的1 中的第一个。

取第三个数字4，我们的部分排列是[2, 4，我们有数字(1 3)。和之前一样，我们发现我们想要('0', 1) 中的第一个。

取第一个数字1，我们的部分排列是[2, 4, 1，我们有数字(3)。选择不多。

所以我们完成并得到[2, 4, 1, 3]。您可以验证的是第 4 个。

所以我们以[2, 4, 3, 1] 结束。

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我们也可以走另一条路。采用相同的排列，我们从[2, 4, 3, 1] 开始并想要它的排名。

在它之前有多少位在第一位不同？它使用了第二个可能的第一个数字。从 ('010', 1) 的条目我们知道有 2 个。剩下的数字是 1 3 4。

它前面有多少个第二位数不同？它使用第三个可能的第二个数字。从 ('10', 1) 和 ('10', 2) 的条目中，我们知道它前面还有 1 个。

我们现在有号码1 3。第三位数字没有出现在它之前。再一次，最后没有。

前面有3，它必须有等级4。

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你有它。为了记忆一个递归函数，您现在可以直接按等级查找排列，或对给定排列进行排序。