【问题标题】：Minimize sum of distances between mutually disjoint bipartite pair of points最小化相互不相交的二分对点之间的距离总和
【发布时间】：2021-02-05 12:20:11
【问题描述】：

我有一个多维数组，表示两组点之间的距离（分别用蓝色和红色着色）。

import numpy as np
distance=np.array([[30,18,51,55],
                   [35,15,50,49],
                   [36,17,40,32],
                   [40,29,29,17]])

每列代表红点，行代表蓝点。该矩阵中的值表示红点和蓝点之间的距离。这是一个草图，可以理解它的样子：

问题：如何求互不相交的（蓝、红）对之间距离之和的最小值？

尝试

我希望在上图中找到 1=1、2=2、3=3 和 4=4。但是，如果我使用简单的 argmin numpy 函数，例如：

for liste in distance:
    np.argmin(liste)

结果是

因为2个红点是1,2和3个蓝点中最接近的。

有没有办法在这种情况下做一些通用的事情来让事情变得更好？我的意思是不使用大量 if 语句和 while 函数。

【问题讨论】：

为什么 1,1,1,3 不是预期的输出？如果你顺序处理蓝色点1,2,3,4的距离并删除找到的点，为什么不是2,1,4,3？
@BillHuang 我相信 OP 要求的是最小化总成对距离的对应关系。
因为两个点不能在同一个地方。这里不能将 2 个红点分配给 1、2 和 3 个蓝点。我不能按顺序执行，因为点的顺序可能会改变，我希望每个红点都分配给它最近的蓝点。
@Panda50 你想如何处理两个红点与最近的蓝点相同的情况？
@Eshan 假设第二个红点与蓝点 1 和 2 等距。红点 1 是最近的蓝点 1，所以蓝点 1 不能是红点二！正如 Quang Hoang 所说，我想知道是否有一种简单的方法来计算最小的成对距离！

标签： python arrays numpy multidimensional-array scipy

【解决方案1】：

该问题在运营管理中称为assignment problem，可以通过Hungarian Algorithm 有效解决。在您的情况下，距离可以被视为一种“成本”函数，它将在总体上最小化。

幸运的是，scipy 实现了一个不错的linear_sum_assignment()（请参阅official docs and example），因此您不必重新发明轮子。该函数返回匹配的索引。

from scipy.optimize import linear_sum_assignment
distance=np.array([[30,18,51,55],
                   [35,15,50,49],
                   [36,17,40,32],
                   [40,29,29,17]])

row_ind, col_ind = linear_sum_assignment(distance)

# result
col_ind
Out[79]: array([0, 1, 2, 3])
row_ind
Out[80]: array([0, 1, 2, 3])

【讨论】：

非常感谢 Bill 的解决方案，感谢文档和 wiki 页面！！！

【解决方案2】：

您可以使用itertools.permutations 找到所有可能的解决方案。然后，您计算哪个解决方案使总成对距离最小。

import itertools
import numpy as np

distance=np.array([[30,18,51,55],[35,15,50,49],[36,17,40,32],[40,29,29,17]])

permutation=[x for x in itertools.permutations([0,1,2,3],4)]
x_opt=permutation[0]
d_opt=sum([distance[i,x_opt[i]] for i in range(len(distance[0]))])
for x in permutation:
    d=sum([distance[i,x[i]] for i in range(len(distance[0]))])
    if d<d_opt:
        (d_opt,x_opt)=(d,x)
print(x_opt)

结果将是这种情况：

(0,1,2,3)

【讨论】：

这真的是大材小用
谢谢Lauriane，它可以工作，但写起来有点困难。
注意：n 个红点有多少种可能的解决方案？有n!，还有15! > 1.3 trillion。