Python：输出总和为目标总和的所有范围

Question

问题：

给定由非零、非负整数 1 到 K 组成的 K，输出总和等于 K 的所有范围/区间。

例如，如果 K 等于 6，则输出应为 [[1,3], [6,6]]。对于[1,3]，1+2+3 = 6，对于[6,6]，6 = 6。

我的解决方案

下面是我的解决方案，但我认为时间复杂度是 O(N2)。有没有更有效的方法来做到这一点？

def targetSum(k):
  nums = list(range(1,k+1))
  res = []
  for end in range(len(nums)):
    start = 0
    while start <= end:
      sumhere = sum(nums[start:end+1])
      if sumhere == k:
        res.append([nums[start], nums[end]])
      start+=1
  return res

targetSum(6)

Answer 1

您可以在O(sqrt(K)) 时间内使用一点数学来解决这个问题。

范围和是arithmetic progression的和，差为1，所以我们可以写公式

K = n/2 * (2*a + n - 1) or
2 * K = n * (2*a + n - 1) 

n 是范围大小，a 是起始值

因此我们将2*K 的所有可能因式分解为两个除数2*K = p * q ，并求解简单系统

n = p
2*a + n - 1 = q

或

2*a + p - 1 = q
a  = (q + 1 - p) / 2

请注意，对于具有不同奇数/均匀性/奇偶性的除数存在解决方案（这里哪个术语更好？）（否则a 不是整数），并且q 必须大于@ 987654332@（得到肯定的a） - 这个事实允许更早地停止循环。

K=6 的示例：

2K = 12
1 * 12 :  n = 1, a = 6   (range 6..6)
2 * 6:   no solution (both even) 
3 * 4:    n = 3, a = 1  (range 1..3)

简单的实现（对于非常大的值，它比@hilberts_drinking_problem 实现慢一点（两倍））

def findranges(k):
    n = 1
    kk = 2 * k
    res = []
    while n * n < kk:
        if kk % n == 0:
            q = kk // n
            if (q ^ n) & 1: //compare parity using the least significant bit
                a = (q + 1 - n) // 2
                res.append([a, a + n - 1])
        n += 1
    return res

print(findranges(60))

  

Answer 2

您可以在 O(K) 中使用 sliding window concept 或 two pointers approach 你可以说。

在sumhere = sum(nums[start:end+1]) 步骤，您重复计算总和，这导致您的 O(K^2)。而是继续向右移动end 并继续将其添加到总和中。如果 sum 等于 K，则加到结果中。如果 sum > K，则开始向右移动 start 并在 sum > K 时继续从总和中减少它。如果 sum 等于 K，则添加到结果。重复此操作，直到处理完该范围内的所有数字。

可能是也可能不是一些数学技巧可以在这里提供帮助。如果我能想出更好的方法，我会告诉你的。