使用二分搜索查找最大子数组

Question

你有两个数组 arr1 和 arr2，你想找到一个子数组的最大尺寸，它是 arr1 和 arr2 的子数组

例如：

arr1 = [3,2,1, 4,5]
arr2 = [1,2,3,4,3,2,1]
return is 3 ([3,2,1])

这个问题有一个二分搜索解决方案，它给你

O(nlogn) 

复杂性。

有人知道如何解决这个问题吗？

Answer 1

所以我将提供一个总体思路。如果句子结构不清楚，有人会编辑答案

好的，那么我们怎么知道二进制搜索在这里适用，假设我们取 mid = (l + (r - l)/2) 作为最长公共子数组的长度。 现在如果我们有一个长度为 L 的公共子数组，那么一定有一个长度小于 L 的公共子数组，如果两个数组没有一个长度为 L 的公共子数组，它们就不能有一个长度大于的公共子数组L. 所以现在实现二分查找应该很简单，我们检查 mid 是我们可能的长度，如果存在的话 大小为 mid 的公共子数组，如果是，则可能存在更大长度的公共子数组，因此我们将当前满足的长度存储为答案并使 l = mid + 1 ，以检查更多可能的更大长度，如果在某个二进制搜索的迭代我们看到不存在长度为 mid 的公共子数组，没有增加长度的意义，所以我们选择较低的长度，即 r = mid - 1。 用c++编写代码

  int l = 1 , r = min(array1.size() , array2.size()); // taking min length of array 1 and array2
  int answer = -1;
  while(l <= r)
  {
      int mid = ( l + ( r - l) / 2);
      if(check(array1 , array2 , mid))
      {
          answer = mid;
          l = mid + 1;
     }
     else
       r = mid - 1;
 }
 cout << answer << "\n";

现在问题来了，我们如何检查给定长度 L 和两个数组，如果在这个给定长度 L 的两个数组中都存在一个公共子数组，因为你必须知道实际上试图给出的散列一个 数组 的 唯一 数值 , 这样 就 可以 很 容易 地 比较 两个 不同 的 数组 , 即 两个 相同 的 数组 将 具有 相同 的 哈希 值 , 而 不同 的 数组 将 有 不同 的 哈希 .所以存在不同的散列方法，但正如您所猜测的那样，它们可能是两个不同数组具有相同散列的情况，这称为冲突，所以我们如何减少它，我们可以通过使用强散列方法来减少它，从而减少碰撞概率。其中一种方法是滚动哈希，对于更一般的想法，请查看互联网上的滚动哈希。

现在在二分查找中对 mid 的每次检查中，计算所有长度为 mid 的子数组的滚动哈希，并将其存储在 hashtable 或 set 等数据结构中。然后再次计算第二个数组中长度为 mid 的所有子数组的滚动哈希，但是这次在计算时，只检查这个哈希值是否已经被计算并存储在你的数据结构中，用于第一个数组的子数组，在哈希表中（平均查找时间是O(1)) 或设置（平均查找时间是对数），如果是，那么这个中等长度的公共子数组存在并且你返回 true 到二分搜索，但是在每次检查第二个数组中长度为 mid 的窗口之后，你不要' t 找到任何已经存在的 hash ，你返回 false。 所以假设你把 hashtable 作为一个数据结构，总的时间复杂度是

( array1.size() + array2.size() ) * log( min( array1.size() , array2.size() ) )

因为您在二进制搜索中迭代 log(min(array1.size() , array2.size()) 次，并且在每次迭代中，您通过遍历检查两个数组，计算滚动哈希并检查哈希表，即（array1 .size() + array2.size())。