使用 Kadane 算法的最大子数组模数

Question

我正在尝试解决hackerrank 问题-最大子数组模-在此处描述https://www.hackerrank.com/challenges/maximum-subarray-sum/problem。 我很好奇这个问题是否可以用 Kadane 算法解决。

目标：给定一个 n 元素整数数组和一个整数 'm' ，确定其任何子数组之和的最大值，取模为 'm'。

输入格式：

1) 第一行包含一个整数“q”，表示要执行的查询数。每个查询都用两行来描述：

a) 第一行包含两个以空格分隔的整数 描述 - 数组长度和模数。

b) 第二行包含用空格分隔的整数，描述 数组元素。

这是我想出的可能的 C++ 代码。某些测试用例失败（抱歉，测试用例太大，无法在此处发布）。您能否评论/评论为什么这可能不起作用？谢谢。

#include <bits/stdc++.h>

int main()
{
    uint64_t q = 0, n = 0, m = 0;

    std::cin >> q;
    std::cin >> n;
    std::cin >> m;

    while(q) {
        std::vector<uint64_t> vec;
        for (uint64_t i = 0; i < n; i++) {
            uint64_t num;
            std::cin >> num;
            vec.push_back(num);
        }
        uint64_t subArrayMax = 0;
        uint64_t maxMod = 0;
        for (uint64_t i = 0; i < n; i++) {
            // Kadane's algorithm.
            subArrayMax = std::max(subArrayMax, subArrayMax+vec[i]); // try (a+b)%m=(a%m+b%m)%m trick?
            maxMod = std::max(maxMod, subArrayMax % m);
        }
        std::cout << maxMod;
        --q;
    }
}

Answer 1

Kadane 的算法在这里不起作用，因为它涉及模运算的属性。

首先你必须了解为什么 Kadane 的算法有效：它是一个简单的动态规划，它回答了以下问题：

如果我们知道索引 i-1 处的最大和结束，则 i 处的最大和结束要么将a[i] 附加到子数组，从而在 处产生答案>i-1，或者不附加它

使用模运算，这不起作用。例如：

Let A = {1,2,3,4}, M = 6

使用 Kadane 的算法，最大和当然是所有元素相加，可以使用上面引用的思想找到：继续将 a[i] 添加到先前找到的最大和中。

但如果我们要找到 最大和 %6，那么答案是 (2+3)%6 = 5 而不是 (1+2+3)%6 = 0 或 (1+2+3+4)%6 = 4。最大总和 最大总和 % M。因此，您的目标甚至不是找到最大和。

---

这个问题可以在O(N lg N) 中使用 Kadane 算法的修改版本来解决。

对于特定索引i，

设DP(i) = 最大子数组总和 % M 在 i 处结束

设PS(i) 是 prefix sum % M 以 i

结尾

你自然会开始思考如何找到j < i 最大的(PS(i) - PS(j)+ M) % M。 （假设你知道如何预计算PS 和基本的模运算）

---

这是核心部分：结果

DP(i) = max(PS(i), (PS(i) - PS(j) + M) % M

其中 PS(j') 是比 PS(i) 大的最小数j < i

为什么？因为看公式，如果PS(j') < PS(i)，那当然更好NOT TO减去PS(i)中的任何东西。

但是如果PS(j') > PS(i)，那么我们可以改写成这样的公式：(M - x)%M，那么我们希望x = PS(j')-PS(i)尽可能小，这样(M - x)%M就最大。

与 Kadane 的算法相同，我们会跟踪整个过程中找到的最大答案。

我们可以使用优先级队列或设置数据结构来为所有在线i找到这样的j'，总共达到O(N lg N)。您可以在下面看到接受的代码的详细信息：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

int T;
set<LL> pre;
LL n, M, a[100010], ans, sum;

int main() {
    cin >> T;
    while(T--){
        ans = sum = 0;
        pre.clear();
        cin >> n >> M;
        for(int i=0; i<n;i++) cin >> a[i];
        for(int i=0; i<n; i++){
            (sum += a[i]) %= M;
            ans = max(ans, sum);
            ans = max(ans, (sum - *(pre.upper_bound(sum))+M)%M);
            pre.insert(sum);
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}