移动窗口的最小值/最大值可以在 O(N) 中实现吗？答案

【问题标题】：Can min/max of moving window achieve in O(N)?移动窗口的最小值/最大值可以在 O(N) 中实现吗？
【发布时间】：2012-08-24 18:52:26
【问题描述】：

我有输入数组 A

 A[0], A[1], ... , A[N-1]

我想要函数 Max(T,A)，它返回 B 表示 A 上大小为 T 的前一个移动窗口的最大值，其中

 B[i+T] = Max(A[i], A[i+T])

通过使用最大堆来跟踪当前移动窗口 A[i] 到 A[i+T] 的最大值，该算法产生 O(N log(T)) 最坏情况。

我想知道有没有更好的算法？也许是 O(N) 算法

【问题讨论】：

如果A 是固定的，而T 变化，你可以做一个O(N*log(N)) 准备，然后对于每个T，你可以在O(N) 时间内得到B。
@Topro 听起来不错！你能把准备步骤放在答案上吗？谢谢！
people.cs.uct.ac.za/~ksmith/articles/…

标签： arrays algorithm heap max min

【解决方案1】：

它被称为RMQ（范围最小查询）。实际上我曾经写过一篇关于那个的文章（使用 c++ 代码）。见http://attiix.com/2011/08/22/4-ways-to-solve-%C2%B11-rmq/

或者您可能更喜欢维基百科，Range Minimum Query

准备好之后，可以得到O(1)中任意给定范围的最大数量

【讨论】：

所以它需要额外的 O(N log(N)) 空间？我花了很长时间才理解准备步骤的全部内容，这基本上是动态编程构造:) 但是，是的，我确实需要改变很多 T。这种方法比其他方法有优势吗？
@dondonchi 为您返回任何查询的最小值（l，r），无需修复 T。

【解决方案2】：

O(N) 可以使用 Deque 数据结构。它包含对（值；索引）。

at every step:

  if (!Deque.Empty) and (Deque.Head.Index <= CurrentIndex - T) then 
     Deque.ExtractHead;
  //Head is too old, it is leaving the window

  while (!Deque.Empty) and (Deque.Tail.Value > CurrentValue) do
     Deque.ExtractTail;
  //remove elements that have no chance to become minimum in the window

  Deque.AddTail(CurrentValue, CurrentIndex); 
  CurrentMin = Deque.Head.Value
  //Head value is minimum in the current window

【讨论】：

bravo，适用于更一般的情况
不应该顶部的“if”是一个“while”，以防我们可以从头部修剪多个值？例如，如果头部有两个具有相似索引值的元素，并且新的索引值足够远，这意味着这两个旧元素现在已过期。
@John Zwinck 不，索引是唯一的，它是元素的“年龄”。在第二个条件下检查'='就足够了，而不是'
以可读的javascript实现：gist.github.com/shimondoodkin/f274d6e17c66a8b72779
@Cris Luengo 不需要排序。最小项目位于队列头部，直到更好的项目替换它，删除所有项目（第二个操作员）或者它变得太旧（第一个操作员）

【解决方案3】：

图像处理中有一个子领域称为数学形态学。您正在实施的操作是该领域的一个核心概念，称为dilation。显然，这个操作已经被广泛研究，我们知道如何非常有效地实现它。

这个问题最有效的算法是在 1992 年和 1993 年由 van Herk、Gil 和 Werman 独立提出的。该算法每个样本需要进行 3 次比较，与 T 的大小无关。

几年后，Gil 和 Kimmel 进一步改进了算法，使每个样本只需进行 2.5 次比较。尽管该方法增加的复杂性可能会抵消较少的比较（我发现更复杂的代码运行得更慢）。我从未实现过这个变体。

所谓的 HGW 算法需要两个与输入大小相同的中间缓冲区。对于非常大的输入（数十亿个样本），您可以将数据分成块并逐块处理。

在排序中，您向前遍历数据，计算大小为T 的块的累积最大值。你倒着走也一样。这些中的每一个都需要对每个样本进行一次比较。最后，结果是这两个临时数组中每一个中一个值的最大值。对于数据局部性，您可以同时对输入进行两次传递。

我猜你甚至可以做一个运行版本，其中临时数组的长度为2*T，但实现起来会更复杂。

van Herk，“矩形和八边形核上局部最小和最大滤波器的快速算法”，模式识别快报 13(7):517-521, 1992 (doi)
李>
Gil, Werman，“计算二维最小值、中值和最大值滤波器”，IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 15(5):504-507 , 1993 (doi)
Gil, Kimmel，“高效膨胀、腐蚀、打开和关闭算法”，IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 24(12):1606-1617, 2002 (doi)

（注：交叉发布自this related question on Code Review。）

【讨论】：