滑动窗口算法计算数组模 p 的所有 k 元素连续子数组乘积的列表

Question

我有一个n 正整数数组。我想计算大小为k 模p 的所有连续子数组产品的列表。例如以下数组：

a = [3, 12, 5, 2, 3, 7, 4, 3]

使用k = 3 和p = 12，所有k 大小的连续子数组产品的有序列表将是：

k_products = [180, 120, 30, 42, 84, 84]

模 p 我们有：

k_products_p = [0, 0, 6, 6, 0, 0]

我们可以使用滑动窗口轻松计算k_products。我们所要做的就是计算第一个k 大小的子数组的乘积，然后使用以下公式计算k_product 的下一个元素：

k_product[i] = k_product[i - 1] * a[i + k] / a[i - 1]

在形成整个列表之后，我们可以为每个i 计算k_product[i] % p 以得到k_product_p。而已。 O(n) 复杂度还不错。

但是如果a[i]的元素很大，k_product的元素可能会溢出，因此我们无法计算k_product_p。另外，我们不能做以下事情：

k_product[i] = ((k_product[i - 1] % p) * (a[i + k] % p) / (a[i - 1] % p)) % p // incorrect

那么有没有一种快速算法可以做到这一点？请注意，p 不一定是素数，也不一定是 a 的元素的互质数。

编辑：如 cmets 中所述，python 中不会溢出，但处理非常大的数字会很耗时。

Answer 1

这不是滑动窗口算法，但它是一种简单有效的方法，可以在 O(n) 时间内解决这个问题，无需任何除法：

让 A 成为您的原始数组。我们将想象在 A 的每个第 k 个元素上都有一个“标记”——元素 A[0]、A[k]、A[2k] 等。这确保了 A 中的每个 k 长度窗口都包含 正好一个标记。

现在，创建两个新数组 B 和 C，这样：

• 在数组 B 中，每个元素 B[i] 将包含 A[i] 的乘积 (mod p) 以及直到 但不包括 下一个标记的所有后续元素。如果标记了 A[i]，则 B[i] = 1。您可以从 i=n-1 到 i=0 单次反向计算。

• 在数组 C 中，每个元素 C[i] 将包含 A[i] 的乘积 (mod p) 和所有前面的元素，直到 并包括 前面的标记。如果 A[i] 被标记，则 C[i] = A[i]。您可以从 i=0 到 i=n-1 一次向前计算。

现在，您可以轻松地计算任意 k 长度窗口在恒定时间内的完全乘积，因为 A[i]...A[i+k-1] 中任意窗口的乘积只是 B [i] * C[i+k-1]。请记住，窗口内只有一个标记。 B[i]是标记前元素的乘积，C[i+k-1]是标记后元素的乘积。