拟合通过特定点的功率/指数曲线

Question

我想拟合指数或渐近模型：

或

重要的是模型应该是凹的并显示某种饱和效果。

我们有 2 个外生变量 x1、x2 和一个约束：拟合曲线应该穿过原点和另一个点。

如果我适合我的函数，我可以得到这个，这对于一个变量来说非常好。

n1 <- nls(y ~ A*x1^(B), start=list(A=80, B = 0.5), data = a)

现在我想添加第二个变量 x2，它只会影响曲率，并且基本上会通过相同的右上角。

我尝试了一些方法，例如将 x2 添加为带有参数 b 的产品，但结果完全改变了曲线的水平，这是我不想要的。

这是我可以为 5 个不同的 x2 值建模的输出示例

我对 python 和 scipy curve_fit 很满意，所以如果你觉得用 python 分享见解更舒服，我很高兴。

编辑：

x2 是与 x1 一起观察到的另一个变量。我也想用 x2 来解释 y。例如，假设 x2 和 y 之间存在线性关系。

现在，我想要那个能够影响曲率的自变量 x2。上下文告诉我变量 x2 不能移动曲线的水平，无论 x2 的值如何，y 都应该始终通过最高点，但是，x2 确实会影响曲率。

我该如何建模？

我知道正如你所说，我需要扩展函数形式才能仅表达 x2 对曲率的影响，但无法弄清楚。

Answer 1

这实际上是一道数学题，而不是编程题。让我们采用饱和指数（它具有三个参数，因此约束其中两个以强制曲线通过 (0,0) 和最右边的点（我将称之为 (xr,yr)）将留下一个参数。鉴于f(x) = a-(a-b)*exp(-c*x)

• 如果我们想要f(0)=0，我们需要设置b=0（数学留作练习）
• f(xr)=yr 呢？

a*(1-exp(-c*xr)) = yr  ## set b=0
a = yr/(1-exp(-c*xr))  ## solve for a

以下是一些示例数据：

xvec <- 0:100
set.seed(101)
dd <- data.frame(x=xvec,y=rnorm(length(xvec),3*(1-exp(-0.03*xvec)),sd=0.2))
yr <- dd$y[length(xvec)]
xr <- dd$x[length(xvec)]

这是一个实现上述代数的函数：

cfun <- function(x,c) {
    a <- yr/(1-exp(-c*xr))
    return(a*(1-exp(-c*x)))
}

plot(y~x,data=dd)
points(c(0,xr),c(0,yr),pch=16,col=2)
curve(cfun(x,0.01),add=TRUE)
curve(cfun(x,0.04),add=TRUE)
curve(cfun(x,.1),add=TRUE)

在这种情况下，我选择使用恰好不是最高点的最右边的点，但您可以为xr、yr 选择任何您想要的值...

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如果您想让曲率依赖于另一个变量（例如 x2），您可以使 c 成为该变量的线性函数，类似于

nls(y~ cfun(x1, c=d+e*x2), data=..., start=list(d=0.03, e=0))

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对于幂律形式（已经满足 (0,0) 约束），根据xr、yr 和b 求解a，并按上述方法进行...

a*xr^b = yr
a = yr/(xr^b)