对于什么是西尔弗曼规则似乎存在分歧。 TL;DR - scipy 使用了更糟糕的规则版本，该规则仅适用于正态分布的单峰数据。 R 使用了一个更好的版本，它是“两全其美”并且“适用于各种密度”。
scipy docs 说西尔弗曼的规则是implemented as：
def silverman_factor(self):
return power(self.neff*(self.d+2.0)/4.0, -1./(self.d+4))
其中d 是维度数（在您的情况下为 1），neff 是有效样本量（点数，假设没有权重）。所以 scipy 带宽是(n * 3 / 4) ^ (-1 / 5)（乘以标准差，用不同的方法计算）。
相比之下，R 的stats package docs 将 Silverman 的方法描述为“标准偏差和四分位距最小值的 0.9 倍除以样本量的 1.34 倍的负五分之一幂”，这在 R 中也可以验证代码，在控制台中输入bw.nrd0 给出：
function (x)
{
if (length(x) < 2L)
stop("need at least 2 data points")
hi <- sd(x)
if (!(lo <- min(hi, IQR(x)/1.34)))
(lo <- hi) || (lo <- abs(x[1L])) || (lo <- 1)
0.9 * lo * length(x)^(-0.2)
}
另一方面，Wikipedia 将“Silverman 的经验法则”作为估算器的许多可能名称之一：
1.06 * sigma * n ^ (-1 / 5)
wikipedia 版本相当于 scipy 版本。
所有三个来源（scipy docs、Wikipedia 和 R docs）都引用了相同的原始参考：Silverman、B.W. （1986 年）。 用于统计和数据分析的密度估计。伦敦：查普曼和霍尔/CRC。页。 48. 国际标准书号 978-0-412-24620-3。 Wikipedia 和 R 特别引用了第 48 页，而 scipy 的文档没有提到页码。 （我已向 Wikipedia 提交了修改以将其页面引用更新到第 45 页，见下文。）
阅读 Silverman 论文，第 45 页，等式 3.28 是在 Wikipedia 文章中使用的：(4 / 3) ^ (1 / 5) * sigma * n ^ (-1 / 5) ~= 1.06 * sigma * n ^ (-1 / 5)。 Scipy 使用相同的方法，将(4 / 3) ^ (1 / 5) 重写为等效的(3 / 4) ^ (-1 / 5)。 Silverman 描述了这种方法：
虽然如果总体确实是正态分布，则 (3.28) 会很好地工作，但如果总体是多峰的，它可能会有些过平滑...随着混合物变得更强烈双峰，公式 (3.28) 将越来越过平滑，相对于平滑参数的最优选择。
scipy 文档reference this weakness，声明：
它包括自动带宽确定。该估计最适合单峰分布；双峰或多峰分布往往被过度平滑。
但是，Silverman 的文章继续，改进了 scipy 使用的方法，以获取 R 和 Stata 使用的方法。在第 48 页，我们得到方程 3.31：
h = 0.9 * A * n ^ (-1 / 5)
# A defined on previous page, eqn 3.30
A = min(standard deviation, interquartile range / 1.34)
Silverman 将这种方法描述为：
两全其美...总之，平滑参数的选择 ([eqn] 3.31) 将适用于广泛的密度范围，并且易于评估。对于许多用途，它肯定是一个适当的窗口宽度选择，而对于其他用途，这将是后续微调的良好起点。
因此，似乎 Wikipedia 和 Scipy 使用了 Silverman 提出的具有已知弱点的估算器的简单版本。 R 和 Stata 使用更好的版本。