计算R中非方阵的逆

Question

我是 R 语言的新手，并试图找出如何计算非正方形矩阵的逆矩阵。 （非方形？不规则？我不确定术语是否正确）。

根据我的书和快速的谷歌搜索（参见source），我发现您可以使用solve(a) 来查找矩阵的逆如果 a 是正方形。

据我了解，我创建的矩阵不是正方形：

  > matX<-matrix(c(rep(1, 8),2,3,4,0,6,4,3,7,-2,-4,3,5,7,8,9,11), nrow=8, ncol=3);
  > matX

       [,1] [,2] [,3]
  [1,]    1    2   -2
  [2,]    1    3   -4
  [3,]    1    4    3
  [4,]    1    0    5
  [5,]    1    6    7
  [6,]    1    4    8
  [7,]    1    3    9
  [8,]    1    7   11
  > 

是否有解决这种大小的矩阵的功能，或者我必须对每个元素做些什么？因为solve() 函数给出了这个错误：

  Error in solve.default(matX) : 'a' (8 x 3) must be square

我试图从上面的矩阵中得到的计算是：(matX'matX)^-1

提前致谢。

Answer 1

ginv MASS 包中的ginv 将给出矩阵的广义逆。将原始矩阵乘以它会得到恒等式：

library(MASS)
inv <- ginv(matX)

# test it out
inv %*% matX
##               [,1]         [,2]          [,3]
## [1,]  1.000000e+00 6.661338e-16  4.440892e-15
## [2,] -8.326673e-17 1.000000e+00 -1.110223e-15
## [3,]  6.938894e-17 8.326673e-17  1.000000e+00

正如 cmets 中所建议的，这可以使用 zapsmall 以更好的方式显示：

zapsmall(inv %*% matX)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    1    0
## [3,]    0    0    1

matX'matX 的倒数现在是：

tcrossprod(inv)
##              [,1]         [,2]         [,3]
## [1,]  0.513763935 -0.104219636 -0.002371406
## [2,] -0.104219636  0.038700372 -0.007798748
## [3,] -0.002371406 -0.007798748  0.006625269

solve 但是，如果您的目标是计算 matX'matX 的倒数，那么您一开始就不需要它。这不涉及 MASS：

solve(crossprod(matX))
##              [,1]         [,2]         [,3]
## [1,]  0.513763935 -0.104219636 -0.002371406
## [2,] -0.104219636  0.038700372 -0.007798748
## [3,] -0.002371406 -0.007798748  0.006625269

svd也可以使用svd，同样不需要MASS：

with(svd(matX), v %*% diag(1/d^2) %*% t(v))
##              [,1]         [,2]         [,3]
## [1,]  0.513763935 -0.104219636 -0.002371406
## [2,] -0.104219636  0.038700372 -0.007798748
## [3,] -0.002371406 -0.007798748  0.006625269

添加了一些附加信息。

Answer 2

您可以执行所谓的“Moore–Penrose pseudoinverse”。这是一个函数exp.mat，它将为您执行此操作。还有一个示例概述了它的用法here。

exp.mat():

#The exp.mat function performs can calculate the pseudoinverse of a matrix (EXP=-1)
#and other exponents of matrices, such as square roots (EXP=0.5) or square root of 
#its inverse (EXP=-0.5). 
#The function arguments are a matrix (MAT), an exponent (EXP), and a tolerance
#level for non-zero singular values.
exp.mat<-function(MAT, EXP, tol=NULL){
    MAT <- as.matrix(MAT)
    matdim <- dim(MAT)
    if(is.null(tol)){
        tol=min(1e-7, .Machine$double.eps*max(matdim)*max(MAT))
    }
    if(matdim[1]>=matdim[2]){ 
        svd1 <- svd(MAT)
        keep <- which(svd1$d > tol)
        res <- t(svd1$u[,keep]%*%diag(svd1$d[keep]^EXP, nrow=length(keep))%*%t(svd1$v[,keep]))
    }
    if(matdim[1]<matdim[2]){ 
        svd1 <- svd(t(MAT))
        keep <- which(svd1$d > tol)
        res <- svd1$u[,keep]%*%diag(svd1$d[keep]^EXP, nrow=length(keep))%*%t(svd1$v[,keep])
    }
    return(res)
}

使用示例：

source("exp.mat.R")
X <- matrix(c(rep(1, 8),2,3,4,0,6,4,3,7,-2,-4,3,5,7,8,9,11), nrow=8, ncol=3)
iX <- exp.mat(X, -1)
zapsmall(iX %*% X) # results in identity matrix
[,1] [,2] [,3]
[1,]    1    0    0
[2,]    0    1    0
[3,]    0    0    1