为什么 TensorFlow 和 PyTorch 的特征值分解梯度和解析解不同？

Question

以下代码计算实对称矩阵的特征值分解。然后，计算第一个特征值相对于矩阵的梯度。这样做了 3 次：1) 使用解析公式，2) 使用 TensorFlow，3) 使用 PyTorch。这会产生三种不同的结果。有人可以向我解释这种行为吗？

import numpy as np
import torch
import tensorflow as tf


np.set_printoptions(precision=3)
np.random.seed(123)

# random matrix
matrix_np = np.random.randn(4, 4)
# make symmetric
matrix_np = matrix_np + matrix_np.T
matrix_torch = torch.autograd.Variable(torch.from_numpy(matrix_np), requires_grad=True)
matrix_tf = tf.constant(matrix_np, dtype=tf.float64)

#
# compute eigenvalue decompositions
#
# NumPy
eigvals_np, eigvecs_np = np.linalg.eigh(matrix_np)
# PyTorch
eigvals_torch, eigvecs_torch = torch.symeig(matrix_torch, eigenvectors=True, upper=True)
# TensorFlow
eigvals_tf, eigvecs_tf = tf.linalg.eigh(matrix_tf)

# make sure all three versions computed the same eigenvalues
if not np.allclose(eigvals_np, eigvals_torch.data.numpy()):
    print('NumPy and PyTorch have different eigenvalues')
if not np.allclose(eigvals_np, tf.keras.backend.eval(eigvals_tf)):
    print('NumPy and TensorFlow have different eigenvalues')

#
# compute derivative of first eigenvalue with respect to the matrix
#
# analytic gradient, see "On differentiating eigenvalues and eigenvectors" by Jan R. Magnus
grad_analytic = np.outer(eigvecs_np[:, 0], eigvecs_np[:, 0])
# PyTorch gradient
eigvals_torch[0].backward()
grad_torch = matrix_torch.grad.numpy()
# TensorFlow gradient
grad_tf = tf.gradients(eigvals_tf[0], matrix_tf)[0]
grad_tf = tf.keras.backend.eval(grad_tf)

#
# print all derivatives
#
print('-'*6, 'analytic gradient', '-'*6)
print(grad_analytic)
print('-'*6, 'Pytorch gradient', '-'*6)
print(grad_torch)
print('-'*6, 'TensorFlow gradient', '-'*6)
print(grad_tf)

打印

------ analytic gradient ------
[[ 0.312 -0.204 -0.398 -0.12 ]
 [-0.204  0.133  0.26   0.079]
 [-0.398  0.26   0.509  0.154]
 [-0.12   0.079  0.154  0.046]]
------ Pytorch gradient ------
[[ 0.312 -0.407 -0.797 -0.241]
 [ 0.     0.133  0.52   0.157]
 [ 0.     0.     0.509  0.308]
 [ 0.     0.     0.     0.046]]
------ TensorFlow gradient ------
[[ 0.312  0.     0.     0.   ]
 [-0.407  0.133  0.     0.   ]
 [-0.797  0.52   0.509  0.   ]
 [-0.241  0.157  0.308  0.046]]

三个结果的主对角线相同。 TensorFlow 和 PyTorch 的非对角元素是解析元素的两倍或等于零。

这是预期的行为吗？为什么没有记录？梯度错了吗？

版本信息：TensorFlow 1.14.0、PyTorch 1.0.1

Answer 1

相对于保证对称的矩阵的梯度并没有很好地定义（对角线之外），因为有效的实现可能取决于一个元素或其对立元素（或两者的加权和） .

例如，对 2x2 对称矩阵 x 的元素求和的函数的有效实现是

f(x) = x[0][0]+x[0][1]+x[1][0]+x[1][1]

但另一个有效的实现是

f(x) = x[0][0]+x[1][1]+2*x[0][1]

如果对称矩阵是确保矩阵始终对称的较大计算的一部分（例如x = [[a, b], [b, c]]，其中a、b 和c 是一些标量），则较大计算的梯度不受您如何定义对称矩阵函数的梯度的影响（在我在这里运行的示例中，无论您如何定义f，我们都会有df/da = df/dc = 1 和df/db = 2）。

也就是说，对称梯度是一个不错的选择（正如评论中链接的 PyTorch PR 中所解释的那样），因为这意味着如果您碰巧对对称矩阵进行梯度下降更新，则矩阵将保持对称。

另外，请注意，TensorFlow 确实 document 仅使用矩阵的下三角部分进行计算，deliberately adjusts 相应地报告了梯度。