Lapackpp 和 Armadillo 都依赖 Lapack 来计算复杂矩阵的特征值和特征向量。 Lapack 库为复杂的厄密矩阵提供了不同的方法来执行这些操作。
zgeev() 函数不关心 Hermitian 矩阵。 Lapackpp 库在函数LaEigSolve 中为LaGenMatComplex 类型的矩阵调用此函数。 Armadillo 库的函数eig_gen() 调用了这个函数。
函数 zheev() 专用于复杂的 Hermitian 矩阵。它首先调用 ZHETRD 将 Hermitian 矩阵简化为三对角形式。根据是否需要特征向量，然后使用QR algorithm 来计算特征值和特征向量（如果需要）。如果选择了方法std，则Armadillo库的函数eig_sym()调用该函数。
如果不需要特征向量，函数 zheevd() 的作用与 zheev() 相同。否则，它会使用分而治之的算法（请参阅zstedc()）。如果选择了方法dc，则Armadillo 库的函数eig_sym() 调用此函数。由于分而治之被证明对于大型矩阵更快，因此它现在是默认方法。
Lapack 库中提供了具有更多选项的函数。 （见zheevr() 或zheevx）。如果要保持密集的矩阵格式，也可以试试 Eigen 库的ComplexEigenSolver。
这是一个使用 Lapack 库的 C 包装器 LAPACKE 的小 C++ 测试。由g++ main.cpp -o main2 -L /home/...../lapack-3.5.0 -llapacke -llapack -lblas编译
#include <iostream>
#include <complex>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include "lapacke.h"
#undef complex
using namespace std;
int main()
{
//int n = 3432;
int n = 600;
std::complex<double> *matrix=new std::complex<double>[n*n];
memset(matrix, 0, n*n*sizeof(std::complex<double>));
std::complex<double> *matrix2=new std::complex<double>[n*n];
memset(matrix2, 0, n*n*sizeof(std::complex<double>));
std::complex<double> *matrix3=new std::complex<double>[n*n];
memset(matrix3, 0, n*n*sizeof(std::complex<double>));
std::complex<double> *matrix4=new std::complex<double>[n*n];
memset(matrix4, 0, n*n*sizeof(std::complex<double>));
for(int i=0;i<n;i++){
matrix[i*n+i]=42;
matrix2[i*n+i]=42;
matrix3[i*n+i]=42;
matrix4[i*n+i]=42;
}
for(int i=0;i<n-1;i++){
matrix[i*n+(i+1)]=20;
matrix2[i*n+(i+1)]=20;
matrix3[i*n+(i+1)]=20;
matrix4[i*n+(i+1)]=20;
matrix[(i+1)*n+i]=20;
matrix2[(i+1)*n+i]=20;
matrix3[(i+1)*n+i]=20;
matrix4[(i+1)*n+i]=20;
}
double* w=new double[n];//eigenvalues
//the lapack function zheev
clock_t t;
t = clock();
LAPACKE_zheev(LAPACK_COL_MAJOR,'V','U', n,reinterpret_cast< __complex__ double*>(matrix), n, w);
t = clock() - t;
cout<<"zheev : "<<((float)t)/CLOCKS_PER_SEC<<" seconds"<<endl;
cout<<"largest eigenvalue="<<w[n-1]<<endl;
std::complex<double> *wc=new std::complex<double>[n];
std::complex<double> *vl=new std::complex<double>[n*n];
std::complex<double> *vr=new std::complex<double>[n*n];
t = clock();
LAPACKE_zgeev(LAPACK_COL_MAJOR,'V','V', n,reinterpret_cast< __complex__ double*>(matrix2), n, reinterpret_cast< __complex__ double*>(wc),reinterpret_cast< __complex__ double*>(vl),n,reinterpret_cast< __complex__ double*>(vr),n);
t = clock() - t;
cout<<"zgeev : "<<((float)t)/CLOCKS_PER_SEC<<" seconds"<<endl;
cout<<"largest eigenvalue="<<wc[0]<<endl;
t = clock();
LAPACKE_zheevd(LAPACK_COL_MAJOR,'V','U', n,reinterpret_cast< __complex__ double*>(matrix3), n, w);
t = clock() - t;
cout<<"zheevd : "<<((float)t)/CLOCKS_PER_SEC<<" seconds"<<endl;
cout<<"largest eigenvalue="<<w[n-1]<<endl;
t = clock();
LAPACKE_zheevd(LAPACK_COL_MAJOR,'N','U', n,reinterpret_cast< __complex__ double*>(matrix4), n, w);
t = clock() - t;
cout<<"zheevd (no vector) : "<<((float)t)/CLOCKS_PER_SEC<<" seconds"<<endl;
cout<<"largest eigenvalue="<<w[n-1]<<endl;
delete[] w;
delete[] wc;
delete[] vl;
delete[] vr;
delete[] matrix;
delete[] matrix2;
return 0;
}
我的电脑输出是：
zheev : 2.79 seconds
largest eigenvalue=81.9995
zgeev : 10.74 seconds
largest eigenvalue=(77.8421,0)
zheevd : 0.44 seconds
largest eigenvalue=81.9995
zheevd (no vector) : 0.02 seconds
largest eigenvalue=81.9995
可以使用 Armadillo 库执行这些测试。直接调用 Lapack 库可能会让您获得一些内存，但 Lapack 的包装器在这方面也很有效。
真正的问题是您是否需要所有特征向量、所有特征值或仅需要最大特征值。因为在最后一种情况下确实有有效的方法。看看 Arnoldi/Lanczos 迭代算法。如果矩阵是稀疏的，则可能会获得巨大的内存增益，因为只执行矩阵向量乘积：不需要保持密集格式。这就是在使用 Petsc 的稀疏矩阵格式的 SlepC 库中所做的。 Here is an example of Slepc 可以作为起点。