我的数据由大小为 1x5 的向量组成，每个向量代表一个 pikel：[x,y,r,g,b]、x 和 y 是位置：0 <= x <= M、0 <= y <= N。 r,g,b 是像素的颜色：0 <= r,g,b <= 255。
我想使用多元 Epanechnikov 核来估计密度。我读到有两种方法可以做到这一点：
这两种方法究竟如何处理我的数据？知道 Epanechnikov 内核对标准化值 > 1 或 < -1 产生 0，我需要进行什么标准化。
我正在用 C++ 编程。
【问题讨论】：
- 乘法方法 - 计算每个维度的内核，然后将它们相乘。
- 计算向量的范数并计算该值的核。
这两种方法究竟如何处理我的数据？
我会同时尝试两者，看看哪一个给出更好的结果（例如，哪一个给出数据的更好可能性，但注意不要过度拟合数据，例如使用cross validation）。
在其最基本的形式中，这意味着您拆分样本，使用一部分计算密度估计函数（即在数据点周围放置内核）并评估另一部分的可能性（密度估计值的乘积）在用于测试或更好地计算概率乘积对数的点上运行函数）并查看哪一个在“其他”样本（不用于计算估计值的那个）上给出了更高的概率乘积。
同样的论点（交叉验证）也适用于内核宽度的选择（“缩放因子”，使内核变窄或变宽）。
您当然可以从手动选择内核宽度开始。选择太小的内核宽度会给出“尖峰”密度估计，选择太大会“洗掉”数据的重要特征。
知道 Epanechnikov 内核对于标准化值 > 1 或
您提到的功能与规范化无关。您应该对内核本身使用标准化表达式，即内核非零范围内的积分应该是一。对于您的情况 1.，如果 1D 内核被归一化（例如 [-1..1] 上的 3/4*(1-u^2) 的情况，2D 产品也将被归一化。对于情况 2。必须计算 2D 积分。
假设核被归一化，那么您可以按如下方式对密度估计进行归一化：
其中 N 是数据点的数量。这将被归一化，即p(x,y) 在 2D 平面上的积分为 1。
请注意，您提到的任何一种功能形式都不允许任意covariance matrices。解决此问题的一种方法是首先“去相关”数据集（即应用矩阵变换，使数据集的协方差矩阵变为单位矩阵），然后执行密度估计，然后应用逆变换。
还有诸如 adaptive kernel density estimation 之类的扩展，其中内核的宽度会随着 x 和 y 的函数而变化，如果您想在某些时候改进您的估计等。
【讨论】：