如何确定一个向量是否在其他两个向量之间？答案

【问题标题】：How to determine if a vector is between two other vectors?如何确定一个向量是否在其他两个向量之间？
【发布时间】：2012-11-18 10:05:56
【问题描述】：

我正在寻找一种快速有效的方法来确定向量 B 是否介于向量 A 和向量 C 的小角度之间。通常我会使用垂直点积来确定每条线 B 的哪一边位于但在此case 不是那么简单，原因如下：

没有一个向量可以被认为是标准化的，标准化它们是我希望避免的额外步骤。
我不清楚哪一边是最小的角度，所以很难说哪一边是好的。
A 和 B 可能共线或正好相隔 180 度，在这种情况下我想返回 false。
当我在 3D 环境中工作时，我很容易将其简化为 2D，如果这样可以让事情变得更容易，更重要的是更快。此测试将用于需要尽可能快地运行的算法。

如果有一些简单有效的方法来确定我的垂直向量应该指向哪个方向，我可以使用这两个点积进行测试。

到目前为止，我一直在考虑但没有取得多大成功的另一种方法是使用矩阵。理论上，根据我对矩阵变换的理解，我应该能够使用 A 和 C 作为基向量。然后将 B 乘以矩阵 I 应该能够通过 X 和 Y 是否都为正来测试 B 所在的象限。如果我能让这种方法发挥作用，它可能是最好的，因为一个矩阵乘法应该比两个点积更快，而且我不必担心哪一边的角度最小。

问题出在我的测试中，我不能简单地使用 A 和 C 作为基础并将其正常相乘并获得正确的行为。我真的不确定我在这里做错了什么。我已经多次遇到“向量空间”这个术语，据我所知，它似乎是一个与矩阵变换非常相似的概念，不需要正交基或正交基。它和矩阵一样吗？如果没有，是否有更好的方法，我将如何使用它？

只是为了更直观地解释我在说什么：

@Aki Suihkonen 我似乎无法让它工作。编写了一个我可以运行的模拟案例，看看我是否无法弄清楚

对于这种情况使用

斧头 2.9579773 斧头 3.315979

Cx 2.5879822 Cy 5.1630249

对于 B，我围绕四个象限旋转，向量将空间划分为。

我得到的迹象： - 第一季度-- - 第二季度+- - 第三季度+- - 第四季度--

假设我在环境中以与图像相同的方向旋转，我很确定我做了。

【问题讨论】：

您为此使用什么语言/环境？优化始终取决于上下文。
你为什么不尝试用高斯方法求解向量方程xA+yC=B？如果解决方案存在，正 x 和 y 都表示 B 位于 A 和 C 之间。
我正在使用 C++，但我目前对数学上的优化很感兴趣。
如果要旋转 A,[B],C 使 B 面向“上”即 y>0, x=0，则条件为 sign(Ax)!=sign(Cx) .无论如何，“中间”的含义有一些主观性（例如，如果三个向量只是任意的，并且 a 和 c 都面向 b 的“后向”。（认为粗体黑线是 A 和 C 以及向量 B指向“q3”。）它在中间吗？公式说是。另一个额外的标准是，当 A 和 C 旋转 B 时，A 和 C 的 x 符号也必须为正。（和 y 符号必须不同）

标签： math vector matrix

【解决方案1】：

考虑这一点的一种方法是将所有这些向量 A、B、C 视为复数。

将A、C全部与B*相乘，B*是B的复共轭，两个结果向量都将在复平面上旋转，使得参考轴(B*Conj(B))现在是实轴（或 y = 0）——不需要计算该轴。在这种情况下，只需检查“y”或虚数的符号是否不同。同样在这种情况下，两个结果向量都被缩放了相同的长度 |B|。

`return sign(Imag(A * Conj(B))) != sign(Imag(C * Conj(B)));`

A = ax + i * ay; B = bx + i * by; C = cx + i * cy;
Conj(B) = bx - i * by; 
A * B = (ax * bx - ay * by) + i * (ax * by + ay * bx);

我认为这个等式会带来更好的性能，因为只需要乘法的虚部。

作为一个完整的解决方案，这转换为：

return (ay * bx - ax * by) * (ay * cx - ax * cy) < 0;

中间的乘法是以下的捷径：

return Sign(ay * bx - ax * by) != Sign(ay * cx - ax * cy);

没有复数，这个问题也可以看成向量 B 是 { Rcos beta, Rsin beta }，可以表示为一个旋转矩阵。

R*[  cb -sb ]    [ bx -by ],   cb = cos(beta), sb = sin(beta)
  [  sb  cb ] =  [ by  bx ]    cos(-beta) = cos(beta), sin(-beta) = -sin(beta)

将 [ax,ay], [cx,cy] 与缩放矩阵 [bx by, -by bx] 的转置相乘会影响 [ax, ay] * rotMatrix(- beta), [cx, cy] * rotMatrix(-beta) 完全相同。

【讨论】：

投影不需要计算向量的大小吗？
他们通常会。但正如我所看到的，等式的左侧乘以 |A|*|B|*|A|*|C|右边是|A|*|C|*|A|*|B|。
乘法是正确的，因为如果 B 与 A 或 C 重合，则乘积为零。
虚数和共轭从来都不是我的强项，所以我很难理解这一点。尽管如果将向量 B 设置为我们的坐标空间 Axis 之一，您确实给了我一个很好的主意，但问题变得非常简单。所以只需 2 次矩阵旋转，然后比较符号。我会玩一会儿。

【解决方案2】：

在极坐标中，您只会问是否 θ_AB C。所以先转换为极地：

a_theta = ax ? atan(ay / ax) : sign(ay) * pi

【讨论】：

这与我的答案几乎相同的几何解释，顺便说一下自动处理零。
A 和 C 是可互换的，而不是按照从左到右定义和已知的顺序。这可以很容易地解决，尽管更大的问题是如果 B 反转，它看起来会返回 true。
抱歉，我有一个更长的答案，但最初的近似值存在缺陷，所以我暂时删除了其余部分。总体思路是对单调递增的索引使用更便宜的等价物并进行比较。

【解决方案3】：

我认为 Aki 的解决方案很接近，但有些情况下它不起作用：

来自他的解决方案：

return (ay * bx - ax * by) * (ay * cx - ax * cy) < 0;

这相当于检查B和A之间的叉积是否与C和A之间的叉积具有相同的符号。

叉积 (U x V) 的符号告诉您 V 是位于 U 的一侧还是另一侧（板外，板内）。在大多数坐标系中，如果 U 需要逆时针旋转（在棋盘外），则符号为正。

因此，Aki 的解决方案检查 B 是否需要向一个方向旋转才能到达 A，而 C 是否需要向另一个方向旋转。如果是这种情况，则 B 不在 A 和 C 之内。当您不知道 A 和 C 的“顺序”时，此解决方案不起作用，如下所示：

要确定 B 是否在 A 和 C 内，您需要同时检查两种方式。即从A到B的旋转方向应与从A到C的旋转方向相同，从C到B的旋转方向应与从C到A的旋转方向相同。

这简化为：

if (AxB * AxC >= 0 && CxB * CxA >= 0)

// then B is definitely inside A and C

【讨论】：