子矩阵 NxN 矩阵和 N 个非零值的最大和，仅 O(N^2)答案

【问题标题】：Maximal sum of submatrix NxN matrix and with N-nonzero values, only O(N^2)子矩阵 NxN 矩阵和 N 个非零值的最大和，仅 O(N^2)
【发布时间】：2014-03-05 09:54:16
【问题描述】：

假设您有一个 N × N 矩阵，其中每一行正好有一个非零元素，每一列正好有一个非零元素（非零元素可以是正数或负数）。我们想找到最大和子矩阵。我们这样做的效率如何？

矩阵的维度为 N × N，只有 N 个非零元素。 N 太大了，所以我不能使用 O(N³) 算法。有谁知道如何在 O(N²)、O(N log N) 或类似的其他时间复杂度内解决这个问题？

谢谢！

【问题讨论】：

什么是“小事”？
我假设这 N 个非零元素的位置是未知的（不是稀疏矩阵），并且值是正数和负数？
O(N^3) 与 Kadane 的二维。 geeksforgeeks.org/…
如果每一列恰好有一个非零元素，那么您可以将矩阵折叠成一个数组，然后应用 Kadane 算法，复杂度为 O(N)。但是由于您可能仍然需要遍历所有元素（为了找到那些非零值），所以您获得了 O(N^2)，正如@Adam 注意到的那样。
@freakish 不是这样，因为子矩阵不一定折叠为折叠数组的连续子向量。

标签： algorithm dynamic-programming submatrix

【解决方案1】：

如果您想找到最大和子矩形，您可以使用此处描述的算法在 O(n^2 log n) 时间内完成 maximum sum subrectangle in a sparse matrix 。这击败了 Kadane 的 O(n^3) 算法。

【讨论】：