有没有办法使用价格弹性度量在 R 中绘制总收入曲线？

Question

我整天都在忙。 在 R 方面，我的水平相当低于平均水平，所以我还没有达到编写自己的脚本/函数的水平（但正在尝试......但失败了）

我有年销售额、收入、商品价格、收入中位数和人口的数据。

使用 glm，我消除了一些变量（自相关、无意义等）。

这是我正在使用的数据框的输入：

dput(df)
structure(list(Year = 2008:2018, Sales = c(50681L, 53016L, 53981L, 
56204L, 55564L, 56916L, 61328L, 59686L, 59412L, 57298L, 57569L
), Population = c(9250000L, 9380000L, 9570000L, 9660000L, 9760000L, 
9850000L, 9940000L, 10040000L, 10160000L, 10270000L, 10454860L
), Income = c(52941L, 53127L, 50020L, 48816L, 47969L, 48294L, 
48385L, 48253L, 49489L, 51672L, 51752L), Price_up = c(15, 15.57, 
15.50772, 15.75584352, 16.26003051, 16.60149115, 20, 20.32, 20.34032, 
20.60474416, 21.03744379), Price = c(16.60149115, 16.26003051, 
15.75584352, 15.50772, 15.57, 15, 21.03744379, 20.60474416, 20.34032, 
20.32, 20), ad_revenue = c(1293145, 1270159.59, 1297991.2, 1362019.86, 
1330311.32, 1423933.04, 1499699.64, 1983487.176, 2034322.84, 
2010148.6, 2008107.84)), class = "data.frame", row.names = c(NA, 
11L))

#Run Models#
m1 <- glm(formula = Sales ~ Price, data = df)
m2 <- update(m1, . ~ . + Income)
m3 <- update(m2, . ~ . + ad_revenue)
m4 <- update(m3, . ~ . + Population)
library(memisc)
library(car)

#m3 is best# 
mtable(m1, m2, m3, m4) 

#No autocorrelation# 
durbinWatsonTest(m3) 

#Calculate Price Elasticity# 
PEm3 <- as.numeric(m3$coefficients['Price'] * mean(df$Price)/mean(df$Sales))

那么，我如何确定最优价格？是否可以使用 ggplot 绘制曲线来指示在销售额下降之前可以收取最高价格的位置？

价格弹性值为1>x>-1，表示相对缺乏弹性。

请帮我展示一条钟形曲线，表示销售暴跌前的最高价格点。它看起来像这里的图片：

不同之处在于，y 轴上的收入不是总销售额。

谢谢

Answer 1

This StackOverflow answer 展示了如何找到回归曲线的局部最大值。但是，您的回归模型没有局部最大值，因为模型在所有变量中都是一阶的。例如，该模型要求销售额总是随着价格的增加而增加或减少，这分别取决于价格的回归系数是正的还是负的。该模型需要在价格上至少是二阶的，才能有一个（模型化的）价格，在该价格上（模型化的）销售额达到最大值。

另外需要注意的是，数据并未显示销售额和价格之间的简单关系。例如：

library(ggplot2)
theme_set(theme_classic())

ggplot(df, aes(Price, Sales)) + 
  geom_line(colour="grey80", size=1) +
  geom_point()

如果我们按年份顺序绘制点，看起来宏观经济因素混淆了销售与价格的关系：

ggplot(df, aes(Price, Sales)) + 
  geom_path(colour="grey80", size=1) +
  geom_text(aes(label=Year), colour='red') + 
  theme_classic()

更新：回答您评论中的问题：您示例中的模型在Price 中是线性的，这意味着Sales 与Price 将始终是一条线，而不是一条曲线。如果您想要一个模型，其中允许Sales 随着Price 的增加而下降然后上升（或上升然后下降），那么Sales 需要至少是Price 的二次（二阶）函数（或比Price 的线性函数更灵活的其他类型的模型）。

为了说明，让我们创建Sales 与Price 的线性和二次模型：

价格中的线性（一阶）。下面的模型拟合这个方程：Sales = a + b * Price，其中a 和b 是回归系数。

m5a = glm(Sales ~ Price, data=df)

价格的二次（二阶）。下面的模型拟合这个方程：Sales = a + b * Price + c * Price^2，其中a、b 和c 是回归系数。 p>

m5b = glm(Sales ~ Price + I(Price^2), data=df)
# m5b = glm(Sales ~ poly(Price, 2, raw=TRUE), data=df)  # Another way to specify the quadratic model

现在让我们将这两个模型的预测与数据一起绘制出来。请注意，在下图中，线性价格模型只能朝一个方向发展。随着Price 的增加，Sales 以恒定的速率增加。另一方面，价格二次模型是一条抛物线，其中Sales 最初随着Price 的增加而下降，然后随着Price 的增加而上升。

二次模型更好地拟合数据，但两种模型在经济上似乎都没有多大意义。

# Set up data frame for predictions
pred.dat = data.frame(Price = seq(min(df$Price), max(df$Price), length=100))

# Add predictions from the two models
pred.dat$linear = predict(m5a, newdata=pred.dat)
pred.dat$quadratic = predict(m5b, newdata=pred.dat)

# Reshape prediction data to long format and plot
pred.dat %>% gather(Model, Sales, -Price) %>% 
  ggplot(aes(Price, Sales)) +
    geom_point(data=df) +  # Add data points
    geom_line(aes(colour=Model))