从离散的观察参数推断出连续的潜在参数答案

【问题标题】：inferring a continuous latent parameter from a discrete observed parameter从离散的观察参数推断出连续的潜在参数
【发布时间】：2022-10-07 19:59:02
【问题描述】：

我对观察数据是连续潜在参数离散化的模型感兴趣。

作为一个简单的例子，假设你有观察J_i，

在哪里

      J_i = 1 if L_i >= 1

      J_i = -1 if L_i < -1

      J_i = 0 if -1 <= L_i < 1

L_i = \mu + \epsilon_i

我们想推断\mu

这将如何在 Stan 中实现？

【问题讨论】：

标签： stan

【解决方案1】：

假设L[i] 与平均值mu 和标准差epsilon[i] 正态分布，一种方法是考虑J[i] 是从3 个类别（即-1、0、1）的分类分布中得出的，其中参数theta[i]（每个长度为3），其中每个theta[i][j]是参数(mu, epsilon[i])在对应区间的正态概率分布下的区域。下面可以看到一个例子。

因此，我们可以将theta 作为参数矩阵包含在transformed parameters 块中，而无需在Stan 模型中指定L。下面是一个示例实现。请注意，为了方便使用categorical 函数，此处将类别视为1, 2, 3 而不是-1, 0, 1。

模型.stan：

data {
  int<lower=0> N;   // number of samples
  int J[N];         // observed values
}

parameters {
  real mu;                    // mean value to infer
  real<lower=0> epsilon[N];   // standard deviations
}

transformed parameters {
  matrix[N, 3] theta;         // parameters of categorical distributions
  for (i in 1:N) {
    theta[i, 1] = Phi((-1 - mu) / epsilon[i]);      // Area from -Inf to -1
    theta[i, 3] = 1 - Phi((1 - mu) / epsilon[i]);   // Area from 1 to Inf
    theta[i, 2] = 1 - theta[i, 1] - theta[i, 3];    // The rest of the area
  }
}

model {
  mu ~ normal(0, 10);     // prior for mu
  for (i in 1:N) {
    epsilon[i] ~ lognormal(0, 1);     // prior for epsilon[i]
    J[i] ~ categorical(to_vector(theta[i]));
  }
}

R 中的一个示例用法如下。

主.R：

library(rstan)

set.seed(100)

# simulated data
N <- 20
mu <- -1.2      # This is the value we want to estimate
epsilon <- runif(N, 0.5, 2)
L <- rnorm(N, mu, epsilon)
J <- ifelse(L < -1, 1, ifelse(L >= 1, 3, 2))

mdl <- stan("model.stan", data = list(N = N, J = J))

samples <- extract(mdl, "mu")
mu_estimate <- list(mean = mean(samples$mu), sd = sd(samples$mu))
print(mu_estimate)

# $mean
# [1] -1.177485
# 
# $sd
# [1] 0.2540879

【讨论】：