3 嵌套 for 循环，其中第三个循环取决于第一次时间复杂度

Answer 1

简短的回答：

假设最里面的循环操作是O(1)，你的代码的时间复杂度是O(n^5).

更长的答案：

让我们从一个更简单的例子2个依赖循环：

for (int i=0; i<n; ++i) {
    for (int j=0; j<i; ++j) {
        // Some O(1) operation
    }
}

外循环将运行 n 次，内循环将运行 1...n 次，平均而言：

(1 + 2 + ... + n)/n = n(n+1)/2/n =上）

所以这个更简单的例子的整体复杂性是O(n^2).

现在到你的情况：
请注意，我假设最内层循环中的操作是在O(1).

for (int i=0; i< n*n; i++){
   for (int j=0; j<n; j++){
       for (int k=0; k<i; k++){
          // Some O(1) operation
       }
   }
}

第一个外循环将运行 n^2 次。
第二个外循环（即中间循环）将运行 n 次。
所以2个外循环将一起运行O(n^3).
现在内部循环平均运行的次数是O(n^2)因为迭代次数现在将是 1..n^2（而不是 1..n）：

(1 + 2 + ... n^2)/n^2 = (n^2)(n^2+1)/2/(n^2) = O(n^2)。

因此总时间复杂度为O(n^5).

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附录：
下面的代码是不是在任何情况下都是关于复杂性的证明，因为测量 n 的特定值不证明关于时间函数的渐近行为的任何信息，但它可以让您对已完成的操作数量有“感觉”。

#include <iostream>
#include <ctype.h>

void test(int n)
{
    int64_t counter = 0;
    for (int i = 0; i < n * n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            for (int k = 0; k < i; k++) {
                counter++;
            }
        }
    }
    std::cout << "n:" << n << ",  counter:" << counter << std::endl;
}

int main()
{
    test(10);
    test(100);
    test(1000);
}

输出：

n:10,  counter:49500
n:100,  counter:4999500000
n:1000,  counter:499999500000000

我相信很明显，操作的数量接近 n^5/2，因为像 1/2 这样的常数不适用：O(n^5).